我读了一条声明＆＃34; BCNF中的关系R与至少一个简单的候选键也在4NF＆＃34;
我不认为它总是如此，但我无法证明它。
有人可以帮忙吗？
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陈述是正确的，这是从论文"Simple Conditions for Guaranteeing Higher Normal Forms in Relational Databases", by C.J.Date and R.Fagin, ACM TODS, Vol.17, No. 3, Sep. 1992中得到的证明草图。
如果对于F +中的每个非平凡多值依赖关系X→→Y，关系是4NF，则X是R的超级密钥。因此，如果关系是在BCNF中，而不是在4NF中，那么必须存在一个非平凡的多值依赖（MVD）X→→Y，这样X就不是关键。我们将证明这与关系在BCNF中并且具有由唯一属性（简单候选键）构成的候选键K的事实相矛盾。
考虑这样一个事实：在一个关系R（T）中，当我们有一个非平凡的MVD X→→Y时，（假设，不失一般性，X和Y是不相交的），那么MVD依赖X→→ Z 必须保持相同的关系，Z = T - X - Y（即Z是关系的所有其他属性）。我们现在可以证明每个候选键必须至少包含Z的属性和Y的属性（因此它必须包含至少2个属性！）。
由于我们有X→→Y和X→→Z，并且X不是候选键，假设假设是假的，即存在不包含的候选K Y的成员（对称，既不是Z的成员）。但是，由于K是关键，我们有K→Y，K和Y不相交。
现在，有一个推理规则说，一般来说，如果V→→W和U→W，其中U和W是不相交的，那么V→W。
将此规则应用于我们的情况，因为X→→Y和K→Y，我们可以说X→Y。但这是矛盾的，因为我们已经说过R在BCNF中，而X是不候选人密钥。
换句话说，如果关系不在4NF中，则每个键必须至少有2个属性。
考虑到最初的假设，我们在BCNF中至少有一个简单的候选键，对于前一个引理，关系必须在4NF（否则每个键都应该由至少2个属性！）。