找到访问无向，未加权图形中每个节点的最短路径

Question

是否找到了访问无向，未加权图形中每个节点的最短路径NP-Hard问题？

我在这个问题上找不到明确的答案。我知道找到访问加权图的每个节点的最短路径是NP-Hard问题（旅行推销员）。但是未加权的图表呢？

Answer 1

假设有一个算法 A ，以找到连接无向，未加权图形中的所有节点的最短路径 G =（V，E）在多项式时间。我们将展示我们可以使用 A 在多项式时间内解决 Hamiltonian path problem ，使用以下步骤：

1. 使用 A 获取连接所有节点的最短路径 p V
2. 计算 p 包含的节点数;设 k 为该节点数
3. 让 n = | V | ; G 包含 Hamiltonian path 当且仅当 k = n 时（见下面的证明）

然而，由于Hamilton路径问题是NP-Complete，因此 A 的算法不能存在，除非 P = NP 。因此，您描述的问题必须是NP-Hard。

证明 k = n ⇔ G 包含汉密尔顿路径

请注意n≤k，因为 p 包含 V 中的每个节点。

⇒：假设 k = n 。由于 p 连接所有节点，因此不能多次访问任何节点。因此 G 包含一个哈密尔顿路径，即 p 。

⇐：假设 G 包含哈密尔顿路径。假设 k≠n ，即 k＆gt; Ñ。
 然后 不会返回满足我们要求的最短路径，因为存在具有 n 节点的哈密顿路径。因此，它必须保持 k = n 。

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