是否有可用于下表的封闭表格？

Question

下面是一个具有递归关系的表，因为当前单元格值是上部和左侧单元格的总和。

我想找到v(x)表示的任何给定行的奇数位置，如第一列所示。

目前，我正在维护两个数组，我用新的和值更新，并逐字检查每个位置值是奇数还是偶数。

是否存在一个封闭的表格，允许我直接说出可用的奇数位置（例如，对于第4行，在这种情况下它应该告诉我p1和p4是奇数位置）。

由于它遵循特定的模式，我觉得非常肯定应该存在一个封闭的形式，它会在数学上告诉我位置，而不是计算每个值并检查它。

Answer 1

您正在查看的数字是Pascal三角形中的数字，只是旋转了90度。你通常会看到它写得像这样：

TimeZone.getDefault()

你沿着对角条纹切割Pascal的三角形，沿着左边（或右边，取决于你的视角）条带，你问的问题是如何找到每个条纹中的奇数。

有一个名为Lucas's theorem的数学结果，它可用于确定Pascal三角形中的给定条目是偶数还是奇数。 Pascal三角形的行m，列n中的条目由（m选择n）给出，并且卢卡斯定理表明（m选择n）mod 2（如果数字为奇数则为1，否则为0） ）可以通过比较m和n的位来找到。如果n有一个位设置在m没有设置该位的位置，那么（m选择n）是偶数。否则，（m选择n）是奇数。

举个例子，让我们试试（5选3）。 5中的位是101. 3中的位是011.由于3的2位被设置而2的2位没有被设置，所以数量（5选3）应该是偶数。因为（5选3）= 10，我们看到确实如此！

在使用关系运算符的伪代码中，您基本上需要以下内容：

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4   1
    1   5   10  10  5   1
  1   6   15  20  15  6   1
1   7   21  35  35  21  7   1
            ...