找出{1,2，...，N}的排列数，使序列首先增加然后减少？

Question

例如，对于N = 3。 排列是：

[1,3,2]
[2,3,1]

注意：[1,2,3]和[3,2,1]在此无效，因为[1,2,3]会增加，但不会减少，反之亦然[3,2,1]。

我在TCS CodeVita 2017中遇到了这个问题，他们甚至没有为此提供社论。

Answer 1

1. 所有这些排列在中间某处都有N
2. 所有小于N的数字都可以分为两组：左和右。左侧组按升序排列，右侧组按降序排列。
3. 左右组不能为空。
4. 答案将等于不同左组的数量，因为该组应立即跟随N，所有剩余的数字将按降序排列。
5. 左侧组可以包含N以外的所有数字。并且它既不能为空，也不能包含所有N-1个数字。

因此，答案是数字{1, 2, ..., N-1}的子集数量减去两个角落情况。那是2^(N-1) - 2。

Answer 2

算法如下

1. 峰值元素始终为N
2. N不能位于2个末端中的任何一个，所以我们可以将它放在N-2个位置
3. 假设N位于第i个位置，我们可以选择i-1个数字位于左侧。这些将以排序的方式放置，其他元素将在N
之后以相反的顺序放置
4. 从n = nCi中选择i个元素的方法数量，我们必须从（n-1）个元素中选择（i-1）个元素
5. N可以是从i = 2到N-1的任何索引（假设索引从1开始）

6. 答案是

   （n-1）C1 +（n-1）C2 +（n-1）C3 +（n-1）C4 + ....（n-1）Cn-2 = 2 ^（ n-1） - 2 // -2处理n-1C0和n-1Cn-1的情况