如何结合多个目标进行优化？

Question

我不知道为什么我这么难以弄明白。

例如，我有两个函数， f（x，y）和 g（x，y）。我想找到 x 和 y 的值，以便：

• f（x，y）处于目标值（最小化与目标的差异）
• g（x，y）被最小化（可以是负数，不会停在0）
• x 和 y 是有界的（所以 g ＆＃39; s的最小值不一定是0的渐变）

因此，如果我只是找到 f 的解决方案，我可以最小化abs(f(x, y) - target)，例如，当它找到解决方案时它会达到零。但是有多个这样的解决方案，我也希望找到最小化 g 的解决方案。

那么如何将这两个函数组合成一个表达式，然后我可以将其最小化（使用类似牛顿的方法）？

我的第一次尝试是100*abs(f(x, y) - target) + g(x, y)强烈强调首先击中目标，并且它对某些目标值的情况起作用，但对其他情况失败，因为g(x, y)可能会如此负面以至于它占主导地位组合和优化器停止关心 f 。我如何保证击中目标的 f 始终占主导地位？

是否有关于如何将多个目标合并为一个目标的一般规则？

Answer 1

有关于多目标优化的丰富文献。两种流行的方法是加权目标和词典方法。

加权目标可以设计为：

min w1 * [f-target]^2 + w2 * g

对于某些权重w1, w2 >= 0。通常我们有w1+w2=1所以我们也可以写：

min w1 * [f-target]^2 + (1-w1) * g

将w1设置为大于w2的值，以强调f目标。

词典编纂方法假定了目标的排序。它看起来像：

1. 解决第一个目标z = min [f-target]^2。设z *为最佳目标。
2. 在接近z *时解决第二个目标：   min g subject to [f-target]^2-z* <= tolerance

为了测量目标与f之间的偏差，我在这里使用了二次函数。您也可以使用绝对值。

Answer 2

由于无法将f（x，y）-target精确地设为零，因此必须接受一定量的错误。我将使用相对误差r = abs（（f（x，y） - target）/ target）。

用r快速增长的功能应该可以解决问题。

exp（r / epsilon）+ g（x，y）

如果我选择epsilon = 1e-10，那么我知道r必须小于1e-7，因为exp（1000）是一个巨大的数字，但是当r很小时，如r = 1e-12，那么指数变化非常缓慢，g（x，y）将成为主导词。您甚至可以更进一步，计算x和y与其真实值的接近程度，但通常只需更轻松地调整参数，直到获得所需内容为止。