Question

monad法律传统上用>>=和pure来描述：

pure a >>= k = k a
m >>= pure = m
m >>= (\x -> k x >>= h) = (m >>= k) >>= h

但是，monad也可以用join而不是>>=来定义。我想根据join提出monad法律的表述。

使用x >>= f = join (fmap f x)，可以轻松重写现有的monad法则以消除>>=。在适用法律的帮助下，略微简化了结果，前两条法律得到了非常愉快的表达：

join . pure = id
join . fmap pure = id

对这些法则的直觉也很容易，因为很明显，当与pure结合使用join时，引入额外的“层”应该是无操作。然而，第三定律并不是那么好。最终看起来像这样：

  join (fmap (\x -> join (fmap h (k x))) m)
= join (fmap h (join (fmap k m)))

这并没有使用适用的法律令人愉快地减少，而且如果不盯着它看一段时间就很难理解。它当然不具备相同的直觉。

对join方面的monad法则是否有更容易理解的等效替代公式？或者，有没有办法简化上述法律，或者让它更容易理解？ >>=的版本已经不如使用Kleisli合成的版本好，但join的版本几乎不可读。

Answer 1

直接从Wikipedia：

被盗

（自然变换η: 1 -> T为pure;自然变换µ: T^2 -> T为join）

µ . Tµ = µ . µT

在Haskell：

join . fmap join = join . join

英文版：如果你从mmma :: Monad m => m (m (m a))开始使用三层monad，那么先将内层压平，然后将其展平为外层，或者先将外层展平为内层，然后将其展平，则无关紧要。这与您列为第三（关联性）的法律相同。

µ . Tη = µ . ηT = 1

在Haskell：

join . fmap pure = join . pure = id

英文：如果你从一层monad开始为ma :: Monad m => m a，那么你在它内部创建一个新图层然后展平它，或者如果你在它之外创建一个新图层然后再无关紧要压扁它，两者都是无所事事。这项法律是你的前两个法律的组合。