Question

给定一组整数1,2和3，找出这些可以加起来的方式的数量n。（顺序很重要，即说n是5. 1 + 2 + 1 + 1和2 + 1 + 1 + 1是两种不同的解决方案）

我的解决方案涉及将n分成1的列表，因此如果n = 5，则A = [1,1,1,1,1]。我将通过添加相邻的数字从每个列表递归地生成更多的子列表。所以A将生成另外4个列表：[2,1,1,1]，[1,2,1,1]，[1,1,2,1]，[1,1,1,2]，每个这些列表将生成进一步的子列表，直到它到达[3,2]或[2,3]

之类的终止案例

这是我提出的解决方案（在Python中）

ways = []
def check_terminating(A,n):
    # check for terminating case
    for i in range(len(A)-1):
        if A[i] + A[i+1] <= 3:
            return False # means still can compute
    return True

def count_ways(n,A=[]):
    if A in ways:
       # check if alr computed if yes then don't compute
       return True
    if A not in ways: # check for duplicates
        ways.append(A) # global ways
    if check_terminating(A,n):
        return True # end of the tree
    for i in range(len(A)-1):
        # for each index i,
        # combine with the next element and form a new list
        total = A[i] + A[i+1]
        print(total)
        if total <= 3:
            # form new list and compute
            newA = A[:i] + [total] + A[i+2:]
            count_ways(A,newA)
            # recursive call

# main            
n = 5
A = [1 for _ in range(n)]

count_ways(5,A)
print("No. of ways for n = {} is {}".format(n,len(ways)))

我是否知道我是否走在正确的轨道上，如果是的话，有没有办法让这段代码更有效率？

请注意，这不是硬币更换问题。在硬币变化中，发生的顺序并不重要。在我的问题中，1 + 2 + 1 + 1与1 + 1 + 1 + 2不同，但在硬币变化中，两者都是相同的。请不要为这个答案发布硬币兑换解决方案。

编辑：我的代码正在运行，但我想知道是否有更好的解决方案。谢谢你的帮助：）

Answer 1

递归关系为F（n + 3）= F（n + 2）+ F（n + 1）+ F（n），其中F（0）= 1，F（-1）= F（-2））= 0。这些是tribonacci数字（Fibonacci数字的变体）：

可以编写一个简单的O（n）解决方案：

def count_ways(n):
    a, b, c = 1, 0, 0
    for _ in xrange(n):
        a, b, c = a+b+c, a, b
    return a

它更难，但可以在相对较少的算术运算中计算结果：

def count_ways(n):
    A = 3**(n+3)
    P = A**3-A**2-A-1
    return pow(A, n+3, P) % A

for i in xrange(20):
    print i, count_ways(i)

Answer 2

你描述的声音是正确的。编写递归函数很容易产生正确的答案。慢慢地。

然后你可以通过记忆答案来加快速度。只需保留已经计算过的答案字典。在递归函数中，查看是否有一个预先计算的答案。如果是这样，请将其退回。如果没有，请计算它，将该答案保存在字典中，然后返回答案。

该版本应该快速运行。

Answer 3

O（n）方法是可能的：

def countways(n):
    A=[1,1,2]
    while len(A)<=n:
        A.append(A[-1]+A[-2]+A[-3])
    return A[n]

我们的想法是，通过考虑最后一个分区大小的每个选择（1,2,3），我们可以计算出使用n生成序列的方法有多少。

e.g。计算（1,1,1,1）的选择考虑：

选择（1,1,1）后跟1
选择（1,1）后跟2
选择（1）后跟3

如果您需要结果（而不仅仅是计数），您可以按如下方式调整此方法：

cache = {}
def countwaysb(n):
    if n < 0:
        return []
    if n == 0:
        return [[]]
    if n in cache:
        return cache[n]
    A = []
    for last in range(1,4):
        for B in countwaysb(n-last):
            A.append(B+[last])
    cache[n] = A   
    return A

如何找到整数1,2,3可以加起来n的方式？

3 个答案: