如何推导递归函数的渐近复杂性

Question

我在网站上找不到对此的一般答案

例如

如果我有一些算法;说Binary Search我如何得出（数学显示）它的复杂性是O(log(n))。

但更一般地说如何推导出任何递归算法的渐近复杂度？

Answer 1

许多递归算法的时间复杂度可以用自身来表示，就像算法一样。这称为递归关系，通常格式为

T(N) = [sum of T(N_i) for recursive call i] + [sum of other work done in the function]

例如，二进制搜索具有非常简单的递归关系：对于每个递归调用1）搜索空间减半，以及2）完成一定量的工作。因此，关系的形式为T(N) = T(N / 2) + C。要解决这个问题，请反复替换它并发现一种模式：

T(N) = T(N / (2^1)) + C
     = T(N / (2^2)) + 2C
     = T(N / (2^3)) + 3C
     = ... 
     = T(N / (2^m)) + mC

当搜索空间只是一个元素时，即N / (2^m) = 1时，二进制搜索终止。这相当于m = log2(N)和T(N / (2^m)) = 0。

因此，时间复杂度为O(m) = O(log N)。 （日志的基数无关紧要，C也不重要，因为它们都是乘法常数）

Answer 2

对于大多数常见的复发关系，你的答案是主定理。请参阅：https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem

您还可以在CRLS - 算法简介中找到这个解释。