为什么偶数函数的频谱是真实的？

Question

我正在评论Lyons的DSP书籍中的8.5美元： [Understanding Digital Signal Processing, 2nd, Richard G. Lyons, 2005]

有online version。

以下是具体部分的屏幕截图：

我太愚蠢了，无法将函数的均匀度/奇数与仅来自文本的光谱中的真实/仅奇数相关联...

非常感谢，

/布鲁因

Answer 1

我从一本书中读到了一个解释，粗略地说，它说：

1. 甚至功能的FT也是均匀的;奇函数的FT也很奇怪。
2. 真正功能的FT的真实部分是均匀的;虚函数的FT的虚部是奇数。

因此实数和偶数函数f（x）的傅立叶变换F（ω）必须满足两者：

1. 因为f（x）是偶数：F（ω）是偶数（对于实部和虚部）
2. 因为f（x）是实数：F（ω）的实部是偶数，虚部是奇数

现在假设F（ω）的虚部为偶数和奇数，它必须为零，因此F（ω）是实数。

Answer 2

由于Euler's formula适用于所有FT基本函数/向量，以及两个定义如何适合两个三角形标识：

对称甚至功能：

cos（x）= cos（-x）

反对称或奇函数：

sin（x）= -sin（-x）

适用于所有x。

另请注意，正弦和余弦函数是正交的，因此由一组组成的任何信号都将具有另一组的零内容。