Question

我想为随机方程实现Milshtein算法，其中噪声是加性的。等式具有下一种形式。

dx(t)/dt= q(x(t)) + noise(t)

噪声是零均值和方差5的高斯变量。我在书中找到的用于该表达式的milsthein算法的表达如下：

x(t)=x(t) + h q(x(t)) + sqrt(h) u

其中＆＃34; h＆＃34;是算法的一步，＆＃34; sqrt＆＃34;意味着＆＃34;平方根＆＃34;和＆＃34;你＆＃34;是一个均值0和方差1的高斯随机变量。

但是，如果我想要有一个方差5的噪音，我应该只是制作＆＃34; u＆＃34;应该改变高斯变量5或其他什么变量？

Answer 1

你是对的。鉴于您修订的随机微分方程，

dx(t)/dt = q(x(t)) + √5 noise(t),

我们可以仅使用微分的线性和方差-1噪声的公式推导出正确的公式。设p(z) = q(√5 z)/√5和y(t) = x(t)/√5。

dx(t)/dt = q(x(t)) + √5 noise(t)
         = √5 [q(√5 x(t)/√5)/√5 + noise(t)]
         = √5 [p(x(t)/√5) + noise(t)]        change q -> p where z = x(t)/√5
(dx(t)/dt)/√5 = p(x(t)/√5) + noise(t)
d(x(t)/√5)/dt = p(x(t)/√5) + noise(t)        linearity of differentiation
dy(t)/dt = p(y(t)) + noise(t)                change x -> y

y的更新公式由Milstein提供：

y(t) -> y(t) + h p(y(t)) + √h u.

我们可以推导出x。

的更新公式

x(t)/√5 -> x(t)/√5 + h p(x(t)/√5) + √h u
x(t) -> x(t) + √5 h q(x(t))/√5 + √5 √h u
     -> x(t) + h q(x(t)) + √h (√5 u)

Milstein算法在噪声方差不同于1时

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