Question

使用Lean，计算机证明检查系统。

第一个证明成功，第二个证明不成功。

variables n m : nat

theorem works (h1 : n = m) (h2 : 0 < n) : (0 < m) :=
eq.subst h1 h2

theorem nowrk (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
eq.subst h3 h4

错误发生在eq.subst中，如下所示：

"eliminator" elaborator type mismatch, term
  h4
has type
  0 < n
but is expected to have type
  n < n

[然后是一些额外的信息]

我不理解错误消息。我在假设中尝试了各种明显的排列，例如0 = n或n＆gt; 0，但我无法让它工作，或者产生一个我能理解的错误信息。

任何人都可以澄清吗？我阅读了关于congr_arg等关于定理的定理的部分，但这些其他命令并没有帮助我。

Answer 1

eq.subst依赖于更高阶的统一来计算替换的动机，这本身就是一种启发式和一种挑剔的过程。在你的第二个案例中，精益的启发式失败了。（您可以在错误消息中看到错误的动机。）还有其他方法可以更智能地执行此操作。

使用自动化：

theorem nowrk (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
by simp * at * -- this may not work on 3.2.0

theorem nowrk2 (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
by cc

使用重写：

theorem nowrk3 (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
by rw h3 at h4; assumption

使用eq.subst并明确给出动机：

theorem nowrk4 (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
@eq.subst _ (λ h, 0 < h) _ _ h3 h4

theorem nowrk4' (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
@eq.subst _ ((<) 0) _ _ h3 h4 -- more concise notation for the above

使用计算模式：

theorem nowrk5 (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
calc 0 < n : h4
   ... = 0 : h3

使用模式匹配：

theorem nowork6 : Π n, n = 0 → 0 < n → 0 < 0
| ._ rfl prf := prf

Answer 2

首先，为您的函数提供有意义的名称是一种很好的编程习惯。

第一个引理可以被称为subst_ineq_right或subst_ineq，如果从上下文中可以清楚地看到你总是在右边替换。

现在，在你的第一个引理的情况下，阐明者将合成哪个术语是明确的。如果h1类型为n = m，h2类型为0 < n，则详细信息器会some complicated recursor magic代替n代替m 0 < n并根据需要生成0 < m类型的术语：

lemma subst_ineq (h1 : n = m) (h2 : 0 < n) : (0 < m) :=
    eq.subst h1 h2

不幸的是，你的第二个引理失败了，比如subst_zero_ineq

lemma subst_zero_ineq (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
    eq.subst h3 h4

这是因为现在对于阐述者将合成的术语存在歧义。它可以替换n中的0，或0中的n替换0 < n。由于不可思议的原因，阐述者选择做后者，产生n < n类型的术语。结果不是0 < 0类型的术语，并且证明不会键入check。

消除不明确性的一种方法是在subst_ineq的证明中使用subst_zero_ineq，例如：

lemma subst_zero_ineq (h3 : n = 0) (h4 : 0 < n) : (0 < 0) :=
    subst_ineq n 0 h3 h4

typechecs正确。

精益：hq上的eq.subst chokes :( n = 0）

2 个答案: