图论中的盒子堆叠

Question

请帮我找到解决这个问题的好方法。

我们有3个尺寸的方框。我们可以定位它们，我们希望将它们置于另一个之上以获得最大高度。如果2个尺寸（宽度和长度）低于下面方框的尺寸，我们可以在另一个方框的顶部放一个方框。

对于exapmle，我们有3个维度w * D * h，我们可以将其显示为（h * d，d * h，w * d，d * W，h * w，w * h） 请帮我在图论中解决它。 在这个问题上我们不能把（2 * 3）放在上面（2 * 4），因为它有相同的宽度。所以2维应该小于框

Answer 1

更新（正确？但可能不是最有效的）：

每个框变为3个顶点（称这些顶点相关）。获得加权DAG。修改描述的算法here 拓扑排序（忽略一些顶点相关的事实），遵循算法但不是整数数组，而是保留一个通向每个顶点的路径列表。然后，当为新顶点添加路径（wiki alg中的“w”）时，通过将路径删除到包含与w相关的顶点的v来创建引导的路径列表。 与原始算法不同，这个算法是指数式的。

原始错误答案（见评论）：

每个盒子的3个表面尺寸变为3个节点。然后创建一个有向图，将每个表面连接到较小尺寸的所有表面。将每条边的价格分配给边缘所通过的节点的第三维（即高度）。现在这是找到longest path problem in a DAG的问题。

Answer 2

编辑：仅当无法围绕所有轴旋转框时才有效。

如果我正确理解了这个问题，可以通过动态编程来解决。找到最大堆栈高度的简单算法是：

首先旋转所有框，使得对于Box B_i，w_i＆lt; = d_i。这需要时间O（n）。

现在根据底部区域w_i * d_i对框进行排序，并让索引显示出来。这需要时间O（n log n）。

现在B_i只有在i＆lt; j，但我＆lt; j并不意味着B_i可以在B_j上。

顶部有B_j的最大堆栈是

• B_j在地上
• 由第一个j-1盒子组成的堆栈，顶部是B_j。

现在我们可以创建一个递归公式来计算最大堆栈的高度

H（j）= max（h_j，max（H（i）| i

并且通过计算max（H（j），i＆lt; = j＆lt; = n），我们得到最大堆栈的高度。

如果我们想要实际的堆栈，我们可以将一些信息附加到H函数并记住索引。