设置封面 - 几个不同的版本

Question

我使用的是具有两组顶点L和R以及边集E的二分图。我尝试解决了几个不同的问题：

1）简单的集合覆盖问题（即，在L中找到顶点的最小基数子集，使得该子集的邻域包含R的全部）。据我所知，这个问题被称为命中集问题，相当于集合覆盖问题，并且存在一些近似算法。我想知道你推荐的近似算法，我在网上发现了几个不同的算法。

2）我想要解决的第二个问题类似于上面的问题，但是我想要仅描述R的一个子集，而不是R的任何其他元素，而不是描述所有的R。此外，允许操作包括设置联合并设置差异和设置L的元素邻域的交集。因此，我想找到L中必须包括在这种描述中的最小元素数。如果不清楚，我会道歉，我可以进一步解释并回答任何问题。

我真的很感激任何帮助。

Answer 1

对于1，我建议integer linear programming。那里有许多解决者;我个人使用GLPK（免费）和CPLEX（商业）。

对于2，直观地说，我们希望由所选集合引起的维恩图具有以下属性：没有区域既包含T中的元素又包含不在T中的元素。（我假设除了设置补充，我们允许公式中的空集。）我们可以将此问题简化为简单的集合覆盖问题，如下所示。要覆盖的新元素是T中所有x和R - T中所有x的两个元素集{x，y}。每个旧集合S产生一个新集合{{x, y} | x in S and y in R - S}。