Question

我正试图从chapter 7 of "theorem proving in lean"了解归纳类型。

我为自己设定了一个任务，证明自然数的继承者有平等的替代属性：

inductive natural : Type
| zero : natural
| succ : natural -> natural

lemma succ_over_equality (a b : natural) (H : a = b) :
  (natural.succ a) = (natural.succ b) := sorry

经过一些猜测和相当详尽的搜索后，我能够满足编译器的几种可能性：

lemma succ_over_equality (a b : natural) (H : a = b) :
  (natural.succ a) = (natural.succ b) :=
    eq.rec_on H (eq.refl (natural.succ a))
    --eq.rec_on H rfl
    --eq.subst H rfl
    --eq.subst H (eq.refl (natural.succ a))
    --congr_arg (λ (n : natural), (natural.succ n)) H

我不明白我刚给出的任何证据是如何实际工作的。

eq（归纳型）的完整定义是什么？在VSCode中，我可以看到eq的类型签名为eq Π {α : Type} α → α → Prop，但我看不到单个（归纳）构造函数（来自{{1}的zero和succ的类似物}}）。我在源代码doesn't look quite right中找到的最好的。
为什么natural乐意接受eq.subst提供(natural.succ a) = (natural.succ a)证明的证明？
什么是higher order unification以及它如何适用于这个特定的例子？
我输入(natural.succ a) = (natural.succ b)时遇到的错误是什么意思，#check (eq.rec_on H (eq.refl (natural.succ a)))

Answer 1

eq defined为
```
inductive eq {α : Sort u} (a : α) : α → Prop
| refl : eq a
```
这个想法是任何一个术语都等于它自己，两个术语相等的唯一方法就是它们是同一个术语。这可能感觉像是一点ITT魔术。美丽来自于此定义的自动生成的recursor：
```
eq.rec : Π {α : Sort u_2} {a : α} {C : α → Sort u_1}, C a → Π {a_1 : α}, a = a_1 → C a_1
```
这是平等的替代原则。 “如果C持有a，a = a_1，则C持有a_1。” （如果C是类型值而不是支持值，则有类似的解释。）
eq.subst正在提供a = b的证明以及succ a = succ a的证明。请注意，eq.subst基本上是上述eq.rec的重新制定。假设在变量x上参数化的属性C是succ a = succ x。 C通过反身性保留a，自a = b以来，我们C持有b。
当你写eq.subst H rfl时，精益需要弄清楚属性（或“动机”）C应该是什么。这是高阶统一的一个例子：未知变量需要与lambda表达式统一。我在https://leanprover.github.io/theorem_proving_in_lean/theorem_proving_in_lean.pdf的第6.10节和https://en.wikipedia.org/wiki/Unification_(computer_science)#Higher-order_unification的一些一般信息中对此进行了讨论。
您要求精益将a = b替换为succ a = succ a，而不告诉它您要证明的内容。你可能试图证明succ b = succ b，succ b = succ a，甚至succ a = succ a（通过替换无处）。精益无法推断出动机C，除非它有这方面的信息。

一般而言，“手动”（使用eq.rec，subst等）进行替换很困难，因为高阶统一是挑剔且昂贵的。您经常会发现使用rw（重写）等策略更好：

lemma succ_over_equality (a b : natural) (H : a = b) :
  (natural.succ a) = (natural.succ b) := by rw H

如果你想要聪明，你可以使用精益方程式编译器，以及a=b的“唯一”证明是rfl的事实：

lemma succ_over_equality : Π (a b : natural),
   a = b → (natural.succ a) = (natural.succ b)
| ._ _ rfl := rfl

证明继承人的替代属性超过平等

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