数组：找到最小数量的交换以使数组的比特最小化？

时间：2017-07-14 23:40:05

标签： arrays algorithm

假设我们得到一个整数数组。所有相邻元素都保证不同。让我们使用以下关系将此数组a的 bitonicity 定义为bt：

bt_array[i] = 0, if i == 0;
            = bt_array[i-1] + 1, if a[i] > a[i-1]
            = bt_array[i-1] - 1, if a[i] < a[i-1]
            = bt_array[i-1], if a[i] == a[i-1]

bt = last item in bt_array

我们说当阵列的比特性是最小时，如果它具有奇数个元素，则它的比特性为0，或者如果它具有偶数个元素，则其比特性为+1或-1

问题是设计一种算法，找到所需的最少交换次数，以使任何阵列的比特性最小化。该算法的时间复杂度应该是最差的O（n），n是数组中元素的数量。

例如，假设a = {34,8,10,3,2,80,30,33,1}

它的初始bt是-2。最小值为0.这可以通过1次交换来实现，即交换2和3.因此输出应为1.

以下是一些测试用例：

  

测试用例1：a = {34,8,10,3,2,80,30,33,1}，min swaps = 1（交换2和3）

     

测试案例2：{1,2,3,4,5,6,7}：min swaps = 2（交换7与4和6与5）

     

测试案例3：{10,3,15,7,9,11}：min swaps = 0。bt = 1。

还有一些：

  

{2,5,7,9,5,7,1}：当前bt = 2.交换5和7：minSwaps = 1

     

{1,7,8,9,10,13,11}：当前bt = 4：交换1,8：minSwaps = 1

     

{13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1}：当前bt = -12：交换（1,6），（2） ，5）和（3,4）：minSwaps = 3

我在接受采访时被问到这个问题，这就是我提出的问题：

1. Sort the given array.
2. Reverse the array from n/2 to n-1.
3. Compare from the original array how many elements changed their position. 
   Return half of it.

我的代码就是这样做的：

int returnMinSwaps(int[] a){
    int[] a = {1,2,3,4,5,6,7};
    int[] b = a;
    Arrays.sort(b);
    for(int i=0; i<= b.length/2 - 1; i++){
        swap(b[b.length - i], b[b.length/2 - i]);
    }
    int minSwaps = 0;
    for(int i=0;i<b.length;i++){
        if(a[i] != b[i])
            minSwaps++;
    }
    return minSwaps/2;
}

不幸的是，对于使用此逻辑的某些测试用例，我没有获得正确的最小路径数。另外，我正在对O(n log n)中的数组进行排序，需要在O(n)中完成。

1 个答案:

答案 0 :(得分：2)

紧急更新：T3不成立！

考虑α= [0,7,8,3,4,10,1,6,9,2,5] 。没有 S ij （α）可以将 | B（α）| 降低2以上。

考虑修改方法......

警告

此解决方案仅在没有相等的数组元素时才有效。

通过编辑答案，随意提出概括。

如果你想跳过无聊的部分，请直接进入结论。

简介

让我们在数组 a 上定义交换运算符 S ij ：

S ij （a）：[... a i ，... a j ，...]→[... a j ，... a i ，...]∀i，j∈[0; | a |）∩ℤ：i≠j

我们还将比特性称为 B（a），并更正式地定义：

显而易见的事实：

  1. 互换是对称的：

    S ij （a）= S ji （a）

  2. 如果目标位置不相交，则两次掉期是独立的：

    S ij （S kl （a））= S kl （S ij （ a））∀i，j，k，l：{i，j}∩{k，l} =∅

  3. 两个2依赖互换互为撤消：

    S ij （S ij （a））= a

  4. 两个1依赖互换遵循以下内容：

    S jk （S ij （a））= S ij （S ik （ a））= S ik （S jk （a））

  5. 对于大小相同的数组，偶然性差异总是如此：

    （B（a） - B（a'））mod 2 =0∀a，a'：| a | = | a'|

    当然，∀i：0＆lt;我＆lt; | A | ，

    B（[a i-1 ，a i ]） - B（[a' i-1 ，a ' i ]）= sgn（a i - a i-1 ） - sgn（a' i - 一个'<子> I-1 ），

    可以是1 - 1 = 0，或1 - -1 = 2，或-1 - 1 = -2，或-1 - -1 = 0，任意数量的±2`s和0总结得到了均匀的结果。

    NB：只有当 a 中的所有元素彼此不同时才会出现这种情况，与 a'相同！

    < / LI>

    定理

    [T1] | B（S ij （a）） - B（a）| ≤4∀a，S ij （a）

    不失一般性，我们假设：

    • 0＆lt; i，j＆lt; | A | - 1
    • j - i≥2
    • a i-1 ＆lt;一个<子> i + 1的
    • a j-1 ＆lt;一个<子> J + 1

    取决于 a i ，可能有3种情况：

    1. a i-1 ＆lt; a i ＆lt; a i + 1 ：sgn（a i - a i-1 ）+ sgn（a i + 1 - i ）= 1 + 1 = 2
    2. a i ＆lt; a i-1 ＆lt; a i + 1 ：sgn（a i - a i-1 ）+ sgn（a i + 1 - i ）= -1 + 1 = 0
    3. a i-1 ＆lt; a i + 1 ＆lt; a i ：sgn（a i - a i-1 ）+ sgn（a i + 1 - a i ）= 1 + -1 = 0

      4. 当改变 a i 并且 a 的所有其他元素保持不变时， | B（a'） - B（a ）| ≤2（其中 a'是结果数组，上述3种情况也适用），因为 B（a）的其他条款没有改变值，除了 a i 的1邻域中的那两个。

      S ij （a）表示上述内容发生两次，一次是 a i 一次用于 a j 。

      因此， | B（S ij （a）） - B（a）| ≤2+ 2 = 4 。

      类似地，对于每个角和 j - i = 1 最大值。可能的delta是2，即≤4。

      最后，这直接推断为 a i-1 ＆gt; a i + 1 和 a j-1 ＆gt;一个<子> J + 1

      QED

      [T2] ∀a：| B（a）| ≥2∃S ij （a）：| B（S ij （a））| = | B（a）| - 2

      {证据正在进行中，需要睡觉}

      [T3] ∀a：| B（a）| ≥4∃S ij （a）：| B（S ij （a））| = | B（a）| - 4

      {证据正在进行中，需要睡觉}

      结论

      从 T1 ， T2 和 T3 ，最小化交换次数 | B（a）| 等于：

      <强>⌊| B（一）| /4⌋+ß，

      如果 | B（a）|，ß等于1 mod4≥2，否则为0。

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