Question

我正在尝试为泰勒系列创建一个带有数学类的模块，以便其他项目可以轻松访问。因此，我希望尽可能优化它。

对于那些对泰勒系列不太熟悉的人来说，能够多次区分某一点的功能是必要的。鉴于函数的数学导数的正常定义将需要高阶导数的巨大精度，我决定使用Cauchy's integral formula代替。通过一些工作，我已经设法重新安排了一点公式，正如你在这张图片上看到的那样：Rearranged formula。这为高阶导数提供了比传统导数定义更准确的结果。以下是我目前用于区分某个功能的功能：

def myDerivative(f, x, dTheta, degree):
  riemannSum = 0 
  theta = 0

  while theta < 2*np.pi:
      functionArgument = np.complex128(x + np.exp(1j*theta))
      secondFactor = np.complex128(np.exp(-1j * degree * theta))
      riemannSum += f(functionArgument) * secondFactor * dTheta
      theta += dTheta
  return factorial(degree)/(2*np.pi) * riemannSum.real

我已经在我的主函数中测试了这个函数，我仔细考虑了数学函数，我知道它的衍生物，即f（x）= sin（x）。

def main():
  print(myDerivative(f, 0, 2*np.pi/(4*4096), 16))
  pass

这些衍生物似乎在16度的衍生物周围吓坏了。我也试图玩dTheta，但没有运气。我也想获得更高的订单，但我担心我遇到了某种机器精确度。

我的问题是最简单的形式：我可以做些什么来改善这个功能，以便获得更高阶的衍生物？

Answer 1

我似乎想出了解决问题的方法。我通过以不同的方式重新排列柯西的积分公式来做到这一点，通过利用初始轮廓积分可以是在微分点周围的任意大的圆。请注意，在复杂平面中对函数进行分析非常重要，以使其有效。

New formula

这也为区分提供了新的功能：

def myDerivative(f, x, dTheta, degree, contourRadius):
  riemannSum = 0 
  theta = 0

  while theta < 2*np.pi:
      functionArgument = np.complex128(x + contourRadius*np.exp(1j*theta))
      secondFactor = (1/contourRadius)**degree*np.complex128(np.exp(-1j * degree * theta))
      riemannSum += f(functionArgument) * secondFactor * dTheta
      theta += dTheta

  return factorial(degree) * riemannSum.real / (2*np.pi)

这使我能够非常准确地区分高阶。例如，我能够毫无问题地区分f（x）= e ^ x 50次。

Answer 2

好吧，既然你正在使用衍生物的离散近似（通过dTheta），迟早你必须遇到麻烦。我很惊讶你能得到至少15个准确的衍生品 - 干得好！但是要获得所有订单的衍生品，要么你必须限制你愿意接受的东西并说它足够好，要么象征性地计算衍生品。为此，请查看Sympy。 Sympy也可能有一些计算泰勒系列的功能。

使用Cauchy（CIF）进行数值微分

2 个答案: