Question

我正在尝试学习Scipy，将其用于混合集成和差异化，但在最初的步骤中我遇到了以下问题。

对于数值微分，似乎唯一适用于可调用函数的Scipy函数是scipy.derivative（）如果我是对的！？但是，我无法使用它：

1st）当我不打算指定区分点时，例如当微分在积分下时，它是积分，应该将数值赋给其被积函数的变量，而不是我。作为一个简单的例子，我在Sage的笔记本中尝试了这段代码：

import scipy as sp
from scipy import integrate, derivative
var('y')
f=lambda x: 10^10*sin(x)
g=lambda x,y: f(x+y^2)
I=integrate.quad( sp.derivative(f(y),y, dx=0.00001, n=1, order=7) , 0, pi)[0]; show(I)
show( integral(diff(f(y),y),y,0,1).n() )

它还会发出警告“警告：检测到出现舍入错误，这会阻止实现所要求的容差。错误可能会被低估。”而且我不知道这个警告代表什么，因为它会持续存在，即使增加“dx”并减少“顺序”。

2nd）当我想在上面的例子中找到像g（x，y）这样的多变量函数的导数时，像sp.derivative（g（x，y），（x），0.5），dx = 0.01，n = 1，order = 3）给出误差，这是容易预料的。

期待听到您如何通过数值区分解决上述问题。最诚挚的问候

Answer 1

你的代码有一些奇怪的问题，建议你需要刷一些python！我不知道你是如何在python中制作这些定义的，因为它们不是合法的语法。

首先，我认为您使用的是旧版本的scipy。在最近的版本中（至少从0.12 +开始），您需要from scipy.misc import derivative。 derivative不在scipy全局命名空间中。

其次，var未定义，但无论如何都没有必要（我认为你的意思是首先输入sympy并使用sympy.var('y')）。 sin也没有从数学中导入（如果你愿意，也可以是numpy）。 show在sympy或scipy中不是一个有效的函数。

^不是python中的幂运算符。你的意思是**

您似乎在这里混淆了符号和数字微积分操作的想法。 scipy不会在数字上区分涉及符号对象的表达式 - 导数的第二个参数应该是你希望得到导数（即数字）的点。正如您所说，您正在尝试进行数字区分，我将为此目的解决问题。

from scipy import integrate
from scipy.misc import derivative
from math import *

f = lambda x: 10**10*sin(x)
df = lambda x: derivative(f, x, dx=0.00001, n=1, order=7)
I = integrate.quad( df, 0, pi)[0]

现在，这个最后一个表达式生成了你提到的警告，并且绝对值中返回的值在-0.0731642869874073处并非非常接近于零，尽管相对于f的比例来说这并不坏。您必须了解有限差分中的舍入误差问题。您的函数f在0到10 ^ 10之间的间隔内有所不同！这可能看似矛盾，但是使微分的dx值太小实际上可以放大舍入误差并导致数值不稳定。请参阅此处的第二个图表（＆＃34;显示由于舍入误差和公式错误而选择h的难度的示例＆＃34;）以获得解释：http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation

事实上，在这种情况下，你需要增加，比如0.001：df = lambda x: derivative(f, x, dx=0.001, n=1, order=7)

然后，你可以安全地整合，没有可怕的结果。

I=integrate.quad( df, 0, pi)[0]

我不建议丢弃quad的第二个返回值。它是对所发生事件的重要验证，因为它是对结果中绝对误差的估计＆＃34;。在这种情况下，I == 0.0012846582250212652，绝对误差为~0.00022，这也不错（暗示的间隔仍然不包括零）。也许更多摆弄四核的dx和绝对公差会让你获得更好的解决方案，但希望你能得到这个想法。

对于你的第二个问题，你只需要创建一个适当的标量函数（称之为gx），它代表y = 0.5的g（x，y）（这称为计算机科学中的Currying）。

g = lambda x, y: f(x+y**2)
gx = lambda x: g(x, 0.5)

derivative(gx, 0.2, dx=0.01, n=1, order=3)

给出了x = 0.2时的导数值。当然，鉴于f的规模，价值是巨大的。您可以像我上面展示的那样使用四元组进行集成。

如果你想区分g本身，你需要一个不同的数值微分函数。我不认为scipy或numpy支持这一点，虽然你可以通过制作2D精细网格（大小dx）并使用numpy.gradient来破解中心差异计算。可能还有其他我不了解的库解决方案，但我知道我的PyDSTool软件包含一个函数diff，它会执行该操作（如果你重写g来代替一个数组参数）。它使用Ridder的方法，灵感来自Numerical Recipes伪代码。

用Scipy进行数值微分

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