Question

我正在实施一个计算方程的程序：F（n）= F（n-1）+'a'+ func1（func2（F（n-1）））。

func1取每个'a'并使其成为'c'，每个'c'变为'a'。

func2反转字符串（e.x。“xyz”变为“zyx”）。

我想计算F的Kth字符（10 ** 2017）。基本规则是F（0）=“”（空字符串），例子是F（1）=“a”，F（2）=“aac”，依此类推。

我该如何有效地做到这一点？

我的代码的基本部分是：

def op1 (str1):
     if str1 == 'a':
          return 'c'
     else:
          return 'a'

def op2 (str2):
     return str2[::-1]

sinitial = ''

while (counter < 10**2017):
    Finitial = Finitial + 'a' + op1(op2(Finitial))
    counter += 1

print Finitial

Answer 1

首先修复原始代码并定义一个函数来计算小F(n)的{{1}}。我们还会打印n的前几个值。以下所有代码均适用于Python 3;如果您使用的是Python 2，则需要进行一些小的更改，例如将F替换为str.maketrans，将string.maketrans替换为range。

xrange

这给出了以下输出：

swap_ac = str.maketrans({ord('a'): 'c', ord('c'): 'a'})

def F(n):
    s = ''
    for _ in range(n):
        s = s + 'a' + s[::-1].translate(swap_ac)
    return s

for n in range(7):
    print("F({}) = {!r}".format(n, F(n)))

此时有几点意见：

F(0) = '' F(1) = 'a' F(2) = 'aac' F(3) = 'aacaacc' F(4) = 'aacaaccaaaccacc' F(5) = 'aacaaccaaaccaccaaacaacccaaccacc' F(6) = 'aacaaccaaaccaccaaacaacccaaccaccaaacaaccaaaccacccaacaacccaaccacc'是一个长度为F(n)的字符串。这意味着2**n-1快速增长。计算F(n)已经需要一些严肃的硬件：即使我们每位存储一个字符，我们也需要超过100太字节来存储完整的字符串。 F(50)比太阳系中估计的原子具有更多的特征。所以计算 F(200)的想法直接是可笑的：我们需要一种不同的方法。
通过构造，每个F(10**2017)都是F(n)的前缀。所以我们真正拥有的是一个明确定义的无限字符串，其中每个F(n+1)仅仅为我们提供了该无限字符串的第一个F(n)字符，我们正在寻找计算其2**n-1个字符。出于任何实际目的，k也可能无限字符串：例如，当我们进行计算时，我们不需要检查F(10**2017) ，因为超出此范围的k < 2**(10**2017)-1甚至不能在此宇宙中以正常的二进制表示法表示。

幸运的是，字符串的结构非常简单，直接计算k字符非常简单。当我们在偶数和奇数位置查看角色时，主要线索就出现了：

偶数位置的字符只是在>>> F(6)[::2] 'acacacacacacacacacacacacacacacac' >>> F(6)[1::2] 'aacaaccaaaccaccaaacaacccaaccacc'和a之间交替显示（根据构造，它可以直接证明这是真的）。因此，如果我们的c是偶数，我们只需查看k是奇数还是偶数，以确定我们是否会获得k/2或a。< / p>

奇怪的位置怎么样？好c应该看起来有点熟悉：它只是F(6)[1::2]：

F(5)

同样，可以直接证明（例如，通过归纳）这不仅仅是巧合，而>>> F(6)[1::2] == F(5) True对于所有非负F(n+1)[1::2] == F(n)。

我们现在有一种有效的方法来计算无限字符串中的n字符：如果k是偶数，我们只看k的奇偶校验。如果k/2为奇数，则我们知道位置k处的字符等于位置k处的字符。所以这是计算这个角色的第一个解决方案：

(k-1)/2

检查这是否正确：

def char_at_pos(k):
    """
    Return the character at position k of the string F(n), for any
    n satisfying 2**n-1 > k.
    """
    while k % 2 == 1:
        k //= 2
    return 'ac'[k//2%2]

但我们可以做得更好。我们有效地盯着>>> ''.join(char_at_pos(i) for i in range(2**6-1)) 'aacaaccaaaccaccaaacaacccaaccaccaaacaaccaaaccacccaacaacccaaccacc' >>> ''.join(char_at_pos(i) for i in range(2**6-1)) == F(6) True的二进制表示，删除所有尾随的k和下一个'1'，然后简单地查看下一位以确定我们是否＆＃39}。得到'0'或'a'。识别尾随1可以通过位操作技巧来完成。这为我们提供了以下半混淆的无循环解决方案，我将它留给您放松：

'c'

再次，让我们检查一下：

def char_at_pos2(k):
    """
    Return the character at position k of the string F(n), for any
    n satisfying 2**n-1 > k.
    """
    return 'ac'[k//(1+(k+1^k))%2]

最后的评论：这是一个非常着名且经过充分研究的序列：它被称为龙曲线序列，或者regular paper-folding sequence，并且是sequence A014577在线的百科全书整数序列。某些Google搜索可能会为您提供许多其他方法来计算其元素。另请参阅this codegolf question。

Answer 2

根据您已经编码的内容，这是我的建议：

def main_function(num):
    if num == 0:
        return ''
    previous = main_function(num-1)
    return previous + 'a' + op1(op2(previous))

print(main_function(10**2017))

P.S：我不确定效率。

用指数有效地计算数学公式

2 个答案: