Question

考虑以下链接列表：

1->2->3->4->5->6->7->8->9->4->...->9->4.....

以上列表的循环如下：

[4->5->6->7->8->9->4]

在白板上绘制链接列表，我尝试手动解决不同的指针步骤，看看指针是如何移动的 -

(slow_pointer_increment, fast_pointer_increment)

因此，不同情况的指针如下：

(1,2), (2,3), (1,3)

前两对增量 - （1,2）和（2,3）工作正常，但当我使用该对（1,3）时，算法似乎不适用于这对。是否有一个规则，我们需要增加多少步骤让这个算法保持为真？

虽然我搜索了较慢和较快指针的各种增量步骤，但到目前为止我还没有找到一个相关的答案，说明为什么它不适用于此列表中的增量（1,3）。

Answer 1

如果指针增量和循环长度之间的差异是互质的（即它们的最大公约数必须为1），则只保证算法在任何位置找到一个循环。

对于一般情况，这意味着增量之间的差异必须为1（因为它是唯一与所有其他正整数相互作用的正整数）。

对于(1,3)，差异为3-1=2，周期长度为2，2和2不是互质，因此算法不是保证找到循环。

理解这一点的关键是，至少为了检查指针是否满足，慢速和快速指针＆＃39;周期内的位置仅相互关联。也就是说，这两者可以被认为是等价的:(两者的差异为1）

slow fast             slow fast
   ↓ ↓                   ↓ ↓
 0→1→2→3→4→5→0     0→1→2→3→4→5→0

因此，我们可以根据slow保持不变的位置和fast以fastIncrement-slowIncrement的增量移动的位置来考虑这一问题，此时问题就变成了：

从任何位置开始，我们能够以某个速度（模式周期长度）到达特定位置吗？

或者，更一般地说：

我们能否以某种速度（模式周期长度）到达每个位置？

只有在速度和周期长度是互质的情况下才会出现这种情况。

例如，查看速度为4和长度为6的循环 - 从0开始，我们访问：
0, 4, 8%6=2, 6%6=0, 4, 2, 0, ... - GCD（4,6）= 2，我们只能访问每一个元素要看到这一点，请考虑上面给出的示例的（1,5）（差值= 4）的增量，并看到指针永远不会满足。

我应该注意到，据我所知，（1,2）增量被认为是算法的基本部分。

使用不同的增量（根据上述约束）可能会有效，但这将是一个远离官方＆＃34;算法并且涉及更多的工作（因为指向链表的指针必须迭代递增，你不能在一个步骤中将它递增超过1），而对于一般情况没有任何明显的优势。

Answer 2

伯恩哈德·巴克 (Bernhard Barker) 的解释很到位。我只是在添加它。

为什么指针之间的速度差和循环长度应该是互质数？

假设指针（例如 v）和循环长度（例如 L）之间的速度差异不是互质的。所以存在一个大于 1 的 GCD(v,L)（比如 G）。

因此，我们有

由于我们只考虑相对位置，因此本质上 slow 是静止的，而 fast 以相对速度 v 移动。让 fast 位于循环中的某个节点。

由于 G 是 L 的除数，我们可以将循环划分为总帐部分。从 fast 所在的位置开始划分。

现在，v 是 G 的倍数（比如 v=nG）。每次 fast 指针移动时，它都会跳过 n 部分。所以在每个部分，指针到达一个节点（基本上是一个部分的最后一个节点）。每次fast 指针都会落在每个部分的结束节点。参考下图

正如上面伯恩哈德所说，我们需要回答的问题是我们可以到达以某种速度移动的每个位置吗？

如果我们有现有的 GCD，答案是否。正如我们所见，fast 指针只会覆盖每一部分的最后一个节点。