Question

对于IEEE-754算术，倒数的最后位置精度是否保证0或1个单位？从那开始，是否有一个保证的误差限制在倒数的倒数上？

Answer 1

[以下所有内容均采用固定的IEEE 754二进制格式，并采用某种形式的舍入模式作为舍入模式。]

由于倒数（计算为1/x）是一个基本的算术运算，1是完全可表示的，并且算术运算保证由标准正确舍入，相互结果保证在{ {1}}单位在真值的最后一个位置。（这适用于标准中指定的基本算术运算的任何。）

一般来说，值0.5的倒数的倒数不能保证等于x。 IEEE 754 binary64格式的快速示例：

但是，假设避免溢出和下溢，并且>>> x = 1.8 >>> 1.0 / (1.0 / x) 1.7999999999999998 >>> x == 1.0 / (1.0 / x) False是有限的，非零的，并且可以精确表示，则以下结果是正确的：

x的值与1.0 / (1.0 / x)的值相差不超过最后一个单位。
如果x的有效位数（通常标准化为x范围内）小于[1.0, 2.0)，那么倒数往返：sqrt(2)。

证明草图：在不失一般性的情况下，我们可以假设1.0 / (1.0 / x) == x为正，并将x缩放为2的幂，使其位于x范围内。在[1.0, 2.0)是2的精确幂的情况下，上述结果显然是正确的，所以我们假设它不是（这将在下面的第二步中有用）。下面的证明是针对IEEE 754 binary64格式的特定精度给出的，但它直接适应任何IEEE 754二进制格式。

在舍入之前，将x写为倒数的 true 值，并让1 / x成为（唯一的，事实证明）最接近的可表示的binary64 float to { {1}}。然后：

因为y是距离1 / x最近的浮点数，y和1 / x都位于binade y中，其间的间距为1/x连续的浮点数恰好是[0.5, 1.0]，我们有2^-53。事实上，我们可以做得更好：
我们实际上有一个严格的不平等：|y - 1/x| <= 2^-54。如果|y - 1/x| < 2^-54 完全等于|y - 1/x|，则2^-54将在任意精度二进制浮点中完全表示（因为1/x和y是）。但是唯一的2^-54二进制浮点x在某种程度上可以精确表示，是2的幂，我们已经排除了这种情况。

如果1/x然后x < sqrt(2)，因此（将两者四舍五入到最近的可表示的浮点数），我们有1 / x > x / 2，所以y >= x / 2。
< / LI>

现在x / y <= 2，以及x - 1/y = (y - 1/x) x/y和|y - 1/x|上的界限（仍然假设x/y）我们得到x < sqrt(2)。因此，|x - 1/y| < 2^-53是距离x最近的可表示浮点数，1/y向1/y舍入并且往返成功。这样就完成了第2部分的证明。

在一般情况x中，我们有x < 2，因此x / y < 4。这使得|x - 1/y| < 2^-52距离1/y最多1 ulp，这样就完成了第1部分的证明。

这里是x阈值的演示：使用Python，我们在sqrt(2)范围内采用了一百万个随机浮点数，并识别那些不通过倒数往返的浮点数。所有小于[1.0, 2.0)的样本都会通过往返。

sqrt(2)

并且证明最大误差不超过1 ulp，一般来说（对于binary64格式，在binade [1.0,2.0中]，最后一个位置的1个单位是2 ^ -52）：

>>> import random >>> samples = [random.uniform(1.0, 2.0) for _ in range(10**6)] >>> bad = [x for x in samples if 1.0 / (1.0 / x) != x] >>> len(bad) 171279 >>> min(bad) 1.4150519879892107 >>> import math >>> math.sqrt(2) 1.4142135623730951

以下是IEEE 754二进制64格式的示例，表明有必要限制避免下溢：

>>> samples = [random.uniform(1.0, 2.0) for _ in range(10**6)] >>> max(abs(x - 1.0 / (1.0 / x)) for x in samples) 2.220446049250313e-16 >>> 2**-52 2.220446049250313e-16

此处>>> x = 1.3e308 >>> x_roundtrip = 1.0 / (1.0 / x) >>> x.hex() '0x1.72409614c1e6ap+1023' >>> x_roundtrip.hex() '0x1.72409614c1e6cp+1023'结果与原始结果的不同之处在于最后一个位置的两个单位，因为x_roundtrip小于最小的正常可表示浮点数，因此未表示为与{{{{1}相同的精度1}}。

最后注意事项：由于IEEE 754-2008也涵盖了十进制浮点类型，我应该提到上述证明几乎逐字逐句地表示十进制情况，确定对于有效数小于1 / x的浮点数，发生往返，而对于一般的十进制浮点数（再次避免溢出和下溢），我们在最后一个地方永远不会被多个单位关闭。然而，需要一些数论理论才能证明关键不等式x总是严格的：最终必须证明数量sqrt(10)永远不是一个平方数（这是是的，但它可能超出了本网站的范围，在此处包含证明。）

|x - 1/y| < 1/2 10^(1-p)

浮点倒数总是往返吗？

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