使用n个任务和m个机器进行作业调度

Question

问题描述：

我有n个优先约束作业和m个独立计算机。每个作业都分配了成本c（以1时间单位完成作业所需的计算机数量）。完成一项工作需要1时间单位，只有在c机器被分配给它的情况下才能完成工作（工作是原子的，不可能完成一半的工作）

简而言之，有n个工作及其优先约束，m个机器和截止日期d（一定数量的时间单位）。

我的目标：

我想检查是否可以将作业分配给计算机，以便所有作业在d时间单位内完成。如果可以，那么我想打印出一个时间表，为每个作业分配一个时间单位（处理作业的时间单位，见下面的例子）。

示例：

n = 5; // number of jobs
m = 6; // number of machines
d = 4; // deadline (number of time units in which the jobs need to be finished)

Precedences: (read "Job(x,y)<--Job(q,p)" as "job x with cost y needs to be
              finished before job q with cost p can be started")
Job(3,1)<--Job(2,3)<--Job(1,4)
Job(5,3)<--Job(4,3)
Job(6,1)

 The solution: in this case it's possible to assign jobs to machines such that each job
finishes in <=d time units. 
A possible schedule is 1 2 3 3 4 1.

(read schedule as "job 1 and job 6 are done in the first time unit, job 2
is done during the second time unit, jobs 3 and 4 during the third time unit, 
job 5 during the fourth time unit")

我目前的做法:(第二次尝试感谢@Ole V.V。反例）

我想做一个回溯方法（我能提出的最佳方法）。目前我在实施它时遇到了麻烦。

我想存储作业及其优先顺序。然后我确定一个集合A，其中包含可以在当前时间单位内解决的所有作业。然后我找到一个集合B（它包含我考虑在此时间单位内解决的所有作业集），其中包含A的所有子集，这些子集可用有限数量的机器m解决，这样就不能添加其他作业对于每个子集（通过向其中一个子集添加作业，该子集中所有作业的成本超过＆＃39; m＆＃39;）。然后我重复这个过程，但没有解决的作业（A \ B），我对B中的每个子集做一个递归调用。当传递的剩余作业集（A \ B）为空（所有作业都已完成）时，我停止如果递归深度为＆lt; = d（如果符合截止日期），则返回找到的计划。

@Ole V.V提供的示例中此方法的示例。 ：

步骤是指递归的深度，方框是指作业（第一个数字是作业ID，第二个是时间单位的成本。在步骤0，我明确地写出了子集（我考虑解决的工作集）这一步）。

现在我的问题是存储作业及其优先级，找到可以在当前时间单位中解决的作业（设置A），找到我认为在当前时间单位中解决的作业子集（集B），并将它们放在一个递归函数中，最终输出找到的时间表或者没有找到时间表＆＃34;如果没有符合截止日期的时间表。

Answer 1

我相信你贪婪的算法并不总能给你正确的结果。

采取：

Job 1 costs 3
Job 2 costs 3
Job 3 costs 1
Job 4 costs 5
Job 5 costs 1

机器数量是7。

优先顺序是

#1 before #5
#2 before #5
#4 before #3 before #5

截止日期是3。

我相信你的算法会选择

Step 1 jobs 1, 2, total cost 6
Step 2 job 4 cost 5
Step 3 job 3 cost 1

现在作业5尚未运行且已达到截止日期。你的程序会说这是不可能的。

可以使用以下时间表

Step 1 job 4 cost 5
Step 2 jobs 1, 2, 3 total cost 7
Step 3 job 5 cost 1

Answer 2

您正在考虑的问题显然是NP难度，我们可以从partition problem进行减少，如下所示： 想象一下你有整数s1，s2 ......，sn的分区问题。目的是找到这个集合的分区为两个集合S1和S2，使得S1上的和等于S2的总和。

我们可以通过为每个整数（其成本是整数的值）定义作业来将此问题转换为您的问题，并且我们添加一个额外的作业，必须在所有其他作业之后完成。我们设置d = 3

当且仅当问题有解决方案时，我们才能轻松地显示分区问题的解决方案，因此您的问题是NP难的。

Answer 3

你的方法似乎很好，但我相信有一种更简单的方法。我建议你使用constraint saisfaction方法。有很多方法可以解决您的问题，例如： mixed-integer programming，MaxSAT。您的任务似乎相当简单，并且您确定不会有任何大数字，因此您可以尝试Minizinc。例如，考虑this调度示例。

如果我们讨论特定于Java的工具，请查看Choco solver。