为什么逆Ackermann函数用于描述Kruskal算法的复杂性？

Question

在算法分析课程中，我们为Kruskal算法提供了这个伪代码：

然后，他为不相交的森林声明了以下内容：

  

m MAKE-SET，UNION和FIND-SET操作的序列，其中n个   是MAKE-SET操作，可以在不相交的林上执行   最坏情况下的等级和路径压缩联合 O（mα（n））。

     

用于计算步骤2和步骤5-8的复杂性

     

    

对于连接的G：| E | ≥| V | -1; m = O（V + E），n = O（V）;

         

所以步骤2,5-8： O（（V + E）α（V））= O（Eα（V））

         

α（V）= O（lg V）= O（lg E）;所以我们得到O（E lg E） ----- //这里α（V）如何相等？

         

Kruskal：步骤3,5-8和步骤4：O（E lg E）

  

     

观察：| E | ＆LT; | V | 2 - ＆gt; lg E = O（lg V）

     

所以，Kruskal的复杂性：O（E lg V）

我试图理解这个“alpha（n）”/“α（n）”函数背后的逻辑，从我读过的看来，简单来说，Ackermann函数是指数速度快得令人难以置信的，反之则是以对数方式非常缓慢地增长。

如果我的解释是正确的，“α（n）”代表什么？这是否意味着MAKE-SET操作最多为O（lg n）？如何/为什么使用逆阿克曼是必要的？我的印象是这个操作执行V次（对于每个顶点）。在此之后，α（V）也简化为O（lg V）= O（lg E），这是否意味着，最大值α（V）可以用O（lg V）表示？

另外，为什么 | E | ＆LT; | V | ^ 2 - ＆gt; lg E = O（lg V）语句，怎么知道那个| E | ＆LT; | V |？^ 2

我认为我的问题可以归结为，为什么当我的讲师声明他们都是O（E log V）时，不相交集合的“森林”表示似乎比链接列表实现的更有效？因此，与森林实施不相交集合的难度增加是否有意义？

Answer 1

α（V）= O（lg V）是一种常见的符号滥用，实际上我们有α（V）∈O（lg V）（V的逆Ackerman是函数集O的成员（lg） V））。它们不相等，它们甚至不是同一类型，一个是函数，另一个是函数集。

  

怎么知道那个| E | ＆LT; | V |？²

完整的无向图有多少条边？你不能拥有更多。你可以在一个多图中，但这不是算法的操作，并且将它扩展到多图是没用的 - 只丢掉一对节点之间的最佳边缘。

  

为什么当我的讲师声明他们都是O（E log V）时，不相交集的“森林”表示似乎比链表实现的更有效？

出于几个原因，这是一个奇怪的问题。首先，您通过Kruskals算法有效地测量不相交集的效率，而不是通过它自己。 “他们”是你的问题是Kruskals算法的两个实现。其次，正如你肯定意识到的那样，上界的推导使用了α（V）∈O（lg V）。所以它故意忽略了一个显着的差异。这是有道理的，因为时间复杂度渐渐地被排序步骤所主导，但仅仅因为差异在大O中是不可见的并不意味着它不存在。

  

因此，与森林实施不相交集合的难度增加是否有意义？

真的没有增加的难度。这是一个超级简单的数据结构，您可以在5分钟内编写，只需要两个数组和一些简单的代码链接列表实际上可能更难，特别是如果您必须进行手动内存管理。请注意，在Kruskals算法的上下文之外，渐近时间和实际时间之间的差异很大。

但即使在Kruskals算法的背景下，改进算法的第二阶段显然会使总时间更好，即使它在最坏的情况下没有显示渐近时间。 FWIW你也可以改进第一阶段，你可以使用一个堆（或其中一个更好的插入式替换）并且只能堆积线性时间的边缘。然后算法的第二阶段将逐个提取它们，但是，至关重要的是，您通常不必提取每个边缘 - 您可以跟踪剩下多少个不相交的集合并在它停止时停止下降到1，可能会使许多（甚至大多数）边缘未使用。在最糟糕的情况下，这没有帮助，但在现实生活中确实如此。在特殊情况下，当任何快速排序（计数排序，桶排序等）适用时，您可以比O（E log E）更快地对边缘进行排序。