我在x轴上随机放置了引脚，并知道所有这些引脚的位置。假设有n个。我必须在x轴上将所有这些引脚移动到两个极限[A,B]之间，以便新位置形成差异k的算术级数。我应该这样做，SUM(|oldpos(i) - newpos(i)|) for each pin i是最小的。为了方便起见，我现在只考虑所有引脚从/到整数位置。
我不知道这是否可以在某些最佳时间复杂度下完成。我确信的一件事是，在最佳排列之后，新位置的引脚将按照旧位置进行分类。
一种O(k.n)方法是选择从A开始的进展（即，将第一个引脚置于A处，将每个后续引脚置于A + k，A + 2k等等）。为此计算SUM。现在对A + 1，A + 1 + k，A + 2 + 2k处的每个引脚执行相同操作，依此类推。最低限度将是答案。
答案 0 :(得分：3)
你是对的，你可以构建一个保留秩序的解决方案。但这不一定是唯一的解决方案。请考虑以下示例，其中包含目标T1和T2以及源点S1和S2（您想要移动到目标）：
T1 T2
S1 S2
如您所见，有两种解决方案：
S1移至T1，将S2移至T2 S1移至T2并将S2保持在T1 两种解决方案的总成本完全相同，因为您使用绝对值作为成本标准。如果你使用平方范数或其他规范，这看起来会有所不同。
现在，既然您知道输入点与目标点之间的对应关系（现在只假设从A开始的进展），您只需优化偏移：
minimize_offset SUM_i (|T_i + offset - oldpos(i)|)
没有正式证明，解决方案是offset = median(oldpos(i) - T_i)。直觉是两个序列的中位数必须位于相同的位置。您可以通过可视化更改偏移时发生的情况来验证。对于某些源点，成本会增加，有些会降低，具体取决于这些点到相应目标点的方向以及更改偏移的方向。关键点在于，如果两个点都没有相对于相应的目标点改变一侧，那么这些变化的绝对值都将是相同的（因为你使用了绝对值范数）。因此，如果他们的左边的对应点有多少点，因为有与他们的权利对应的点，你不能进一步降低成本，因为一旦你降低其中一个集的成本，你将增加成本其他设定金额相同。
无论如何，中位数可以用 O（n log n）用朴素的方法计算，或 O（n）用中位数中位数计算。如果获得目标点超出有效间隔的解决方案，则必须相应地截断偏移量。事实上，不需要对目标点进行初始假设（从A开始）。您可以假设任何开始，例如0。
顺便说一句，这听起来与a former project of mine非常相似。你可能想看看。
以下是您给定输入的示例
S = (4, 7, 9, 13, 16)
k=3.
步骤1：使用k=3构建任意目标序列：
T = (0, 3, 6, 9, 12)
第2步：计算序列S - T
S - T = (4, 4, 3, 4, 4)
第3步：计算S - T的中位数：
median(S - T) = 4
将此偏移添加到T并且您有最终序列：
F = (4, 7, 10, 13, 16)
S = (4, 7, 9, 13, 16)