Question

给定两个多项式A（x）= a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ... + a _n-1 x ^n-1和B（x），定义类似于系数b ₀，b < sub> 1 ... b _n-1，我们寻求A（x）* B（x）。

我正在研究一个简单的分治算法作为学习Karatsuba算法的前言，我理解基本原理，即：

定义A（x）= M ₀（x）+ M ₁（x）x ^{n / 2}，其中M ₁（x）= a _n-1 x ^{n / 2-1} + a _n-2 x ^{n / 2-2} + ... + a _{n / 2}（即上半系数）和M ₀（x）= a _{n / 2-1} x ^{n / 2-1} + a _{n / 2-2} x ^{n / 2-2} +。 .. + a ₀（即下半系数），B（x）= N ₀（x）+ N ₁（x） x ^{n / 2}，其中N ₀（x）且N ₁（x）以与M _{0 <相似的方式定义/ sub>（x）和M ₁（x）。然后我们可以将A（x）* B（x）重写为（M ₁ N ₁）x ⁿ +（M ₁ N ₀ + M ₀ N ₁）x ^{n / 2} + M _{0 名词<子> 0}}

然而，我在理解“征服”时遇到了一些麻烦。步骤中提供的伪代码：

Function PolyMult(A, B, n, a, b)
    R = array[0 ... 2n - 1];
    if n = 1:
        R[0] = A[a] * B[b]; return R;
    R[0 ... n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a, b);
    R[n ... 2n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b + n/2);
    MN = PolyMult(A, B, n/2, a, b + n/2);
    NM = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b);
    R[n/2 ... n + n /2 - 2] += MN + NM;
    return R;
End Function

具体来说，我不确定为什么可以直接初始化结果数组的前n - 1和最后n - 1项，而中间n - 1项需要通过加法赋值来计算。有人可以详细说明算法的这个方面吗？

总的来说，我相信我错过了一些关于递归或分而治之的重要直觉（看似两者）。在尝试实现递归分而治之的解决方案时，重要的一般范例是什么？

Answer 1

提示：多项式M0，M1，N0，N1的（最大）度是多少？

n/2-1

每个产品的（最大）度是多少M0 * N0 M1 * N1 M0 * N1 m1 * N0？

n - 2

现在M1 * N1 * x ^ n？

的程度

2*n - 2

从0度到n - 2的M1 * N1 * x ^ n系数的值是多少？

它们是否与M0 * N0的系数重叠？

no

现在最后一部分（M0 * N1 + M1 * N0）* x ^（n / 2），估值和程度是多少？

n/2 and n/2 + n - 2 respectively

这些是否与M0 * N0和M1 * N1 * x ^ n？

部分重叠

yes

所以你必须在最后一部分使用+ =

多项式乘法的天真的分治方法

1 个答案: