Question

我试图通过使用Welder的双重归纳来证明财产。定义来自here。可以找到提供该理论更多细节的相关问题here。无论如何，我只需要一些部分来表明我的问题：

基本上，我处理的表达式采用整数形式POP(i,p)和POW(i,p,q)。他们称之为正常性属性。我想证明，n(x) && n(y)然后是n(x+y)。

让我们看看具体案例x = POP(i,p)，y = POP(j,q)然后x+y定义如下：

if i = j then pop(i,p+q)
if i > j then pop(j,POP(i-j,p)+q)
if i < j then pop(i,POP(j-i,q)+p)

其中pop是一个模仿POP构造的函数，但略有不同。

我在Welder中通过双重感应执行证明如下：

def property(x: Expr) = {
  forall("y" :: shf){ case (y) => 
    (n(x) && n(y)) ==> n(x+y)
  } 
}
structuralInduction(property _, "x" :: shf) { case (ihs1, goal1) =>
  val xi = ihs1.expression
  xi match{
  ...

我想关注的相关案例如下：

case C(`POP_ID`,i,pshf) =>
  def popproperty(y: Expr) = { 
    n(y) ==> n(xi+y) 
  }
  structuralInduction(popproperty _, "y" :: shf) { case (ihs2, goal2) =>
   val yi = ihs2.expression
   implI(n(yi)){ axioms2 =>
    yi match{
     case C(`constshfID`, fc) => andI(ihs1.hypothesis(pshf),axioms1)
     case C(`POP_ID`,j,qshf) => 
      andI(
       implE(forallE(normpop1Lemma)(i,normadd(pshf,qshf)))( g => 
        andI(implE(forallE(ihs1.hypothesis(pshf))(qshf))( g => 
         andI(axioms1,axioms2)), axioms1, axioms2)),
       implI(i > j){ gt => 
        implE(forallE(normpop1Lemma)(i,normadd(POP(i-j,pshf),qshf)))( g => 
         andI(implE(ihs2.hypothesis(qshf))(g => axioms2),axioms1,axioms2,gt))                            
       },
       implI(i < j){ lt => 
        implE(forallE(normpop1Lemma)(i,normadd(POP(j-i,pshf),qshf)))( g => 
         andI(implE(ihs2.hypothesis(qshf))(g => axioms2),axioms1,axioms2,lt))

    }
   )

此处normpop1Lemma指出，n(pop(i,p)) i需要p自然而def popproperty(y: Expr) = { forall("x" :: shf){ n(y) ==> n(x+y) } }正常。但是，我发现第二种情况没有得到证实。实际上我需要将第二个属性概括为

i > j

但是我不打破感应？我可以通过这样做来实际解决案例i < j和i = j吗？（我实验时会有更多的事情发生）

修改

目前，我可以首先导入y然后导入x，对于POP-POP情况，我可以显示i > j和i < j但POP(j-i,q) + p = p + POP(j-i,q)不是i < j的情况。我认为它可以使用i > j，但它没有。

相反，现在我试图证明两个不同的属性，假设其中一个案例无法保持（List<Sessions> temporary = new List<Sessions>(); foreach (Course s in courses) { temporary = s.sessions.Where(x => x.InRange == true).ToList(); s.sessions = temporary; temporary.Clear(); }或r["id"].Value<string>() == "475729939105078"）。

Answer 1

嗯，我希望你的证据看起来更像这样：

structuralInduction((x: Expr) =>
  forall("y" :: shf)(y => (n(x) && n(y)) ==> n(x+y)), "x" :: shf
) { case (ihs1, g1) =>
  structuralInduction((y: Expr) =>
    (n(ihs1.expression) && n(y)) ==> n(ihs1.expression+y), "y" :: shf
  ) { case (ihs2, g2) =>
    implI(n(ihs1.expression) && n(ihs2.expression)) { normalXY =>
      (ihs1.expression, ihs2.expression) match {
        case (C(`POP_ID`,i,pshf), C(`POP_ID`,j,qshf)) => andI(
           ... // case (i == j)
           ... // case (i > j)
           implI(i < j) { iLtJ =>
             andI(
               ... // stuff using normprop1Lemma
               implE(forallE(ihs1.hypothesis(pshf))(normadd(POP(j-i,qshf)) {
                 g => // the reason why n(normadd(POP(j-i,qshf)) and n(pshf)
               },
               ... // invoke some lemma showing x+y == y+x
             )
           }
        )
      }
    }
  }
}

这里我们使用来自外部诱导的归纳假设，因为我们在p \in x上进行归纳。我假设normprop1Lemma告诉您normadd(POP(j-i,qshf))处于正常状态。如果p \in x处于正常状态，您可能需要一些引理表明x处于正常状态。

希望这有帮助！

在焊工

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