Question

我试图用以下运动方程计算阻尼结构的特征值lambda：

（lambda ^ 2 * M + lambda * C + K ） * x = 0

其中 M ， C 和 K 是稀疏矩阵。使用Matlab的polyeig函数可以工作，但我想进入更大的系统并利用我的矩阵的稀疏性。我使用状态空间线性化来获得广义特征值问题如下：

（ A - lambda * B ）* z = 0 ，

与

A = [ K ， 0 ; 0 ， - M ]，

B = [ - C ， - M ; - M ， 0 ]，

z = [ x ; lambda * x ]

用Matlab的eigs函数解决这个问题：

lambda = eigs(A,B,10,'sm')

产生以下输出：

lambda =
   1.0e+03 *
  -0.2518 - 1.3138i
  -0.2518 + 1.3138i
  -0.4690 - 1.7360i
  -0.4690 + 1.7360i
  -0.4690 - 1.7360i
  -0.4690 + 1.7360i
  -0.5387 - 1.8352i
  -0.5387 + 1.8352i
      NaN +    NaNi
      NaN +    NaNi

前八个特征值是正确的，但似乎最后两个特征值无法收敛。增加Lanczos基矢量的数量似乎并没有改善这个问题。

然而，奇怪的是，增加计算的特征值（k）的数量允许越来越多的特征值收敛：

k = 10：收敛的lambda数= 8

k = 20：收敛的lambda数= 8

k = 50：收敛的lambda数= 8

k = 100：收敛的lambda数= 20

k = 120：收敛的lambda数= 80

k = 150：收敛的lambda数= 150

值得一提的是，许多不与较低k值收敛的特征值似乎是退化的或至少非常紧密地间隔。

我想知道是否有人能想到这种行为的解释？如果是这样，有没有办法让所有的特征值收敛而不会使k非常大？谢谢！

Answer 1

这是旧的，但仍然没有答案。如果没有实际的矩阵，就很难确定。这是我最好的猜测：

eigs 调用 ARPACK 例程。 ARPACK 利用迭代方法 (Arnoldi) 收敛到例如具有最小幅度的特征值（选项 sm）。对于任何迭代方法，用户可以在迭代过程停止之前指定收敛Tolerance和MaxIterations等选项。 NaN 表示达到 MaxIterations 时尚未收敛的特征值。

Arnoldi 方法的一个重要选项是用于逼近解的 Krylov 子空间的维度。这可以通过 SubspaceDimension 中的选项 eigs 指定。默认值为 max(2*k,20)，因此增加 k 有效地增加了 Krylov 子空间的维度。如果您的问题需要相对较大的 Krylov 子空间来将某些特征值收敛到所需的 Tolerance，这可以解释为什么增加 k 会产生大量特征值的收敛。

要验证我的猜测是否正确，您可以使用限制较少的 Tolerance（e-6 可能就足够了？）或在保持 SubspaceDimension 的同时增加 k 的值常数。

除非计算的特征值的数量很大，否则Matlab的eigs不会收敛

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