我有一个从1到n的整数。我将每个整数随机分配到三组A，B和C（A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = Ø）中的一组。每个整数都属于一个集合。所以我需要计算(a,b)元素的所有组合，a ∈ A, b ∈ B，a,b的几何平均值属于C。基本上是sqrt(a*b) ∈ C。
我的解决方案是首先在大小为n的数组上标记是否每个元素都进入集合A，B或C.然后我遍历数组以查找属于A的所有元素。当我遇到一个时，我再次遍历所有属于B的元素。如果array[sqrt(a*b)] == C，则我添加(a, b, sqrt(a,b))作为一种可能的组合。然后我对整个数组执行相同操作，即O(n^2)。
是否有更优化的解决方案？
答案 0 :(得分：2)
它可以比O（n ^ 2）更复杂。这里描绘的解决方案是O（n * sqrt（n）* log（n））。
主要想法如下：
上述想法中的一个关键部分是将 a 分解为s * t ^ 2，即在 a 中找到具有奇数幂的素数>分解。
这可以使用预处理步骤来完成，该步骤使用略微修改的Eratosthenes筛来找到{1,2，... n}中每个数字的素因子（但不是它们的幂）。这个修改过的版本不仅会将数字标记为＆＃34;还不会标记为＆＃34;当迭代一个素数的倍数时，还会将当前素数附加到当前倍数的因子列表中。该预处理步骤的时间复杂度是n * sum {对于每个素数p <1。 n}（1 / p）= n * log（log（n）） - 有关详细信息，请参阅this。
使用预处理的结果，即除去 a 的素数列表，我们可以在O（log（n））中找到具有奇数幂的素数。这是通过将 a 除以列表中的每个素数来实现的，直到它不再被该素数整除。如果我们进行了奇数个除法，那么我们在 s 中使用当前的素数。完成所有分割后，结果将等于1.复杂性为O（log（n）），因为在最坏的情况下，我们总是将初始数除以2（最小的素数），因此需要最多log2（a）步骤达到值1.
主要步骤的复杂性决定了预处理的复杂性，因此这种方法的总体复杂性是O（n * sqrt（n）* log（n））。
备注：在分解a = s * t ^ 2中， s 是带有奇数指数的 a 中素数的乘积，但它们的指数未被使用在 s （ ie s 只是那些素数的乘积，指数为1）。只有在这种情况下，才能保证 b 的形式应为s * k ^ 2。实际上，由于a * b = c * c，右侧的素因子分解仅使用偶数指数，因此来自 s 的所有素数也应出现在 b 中指数和来自 b 的因子分解的所有其他素数应该具有偶数指数。
扩展以下行：＆＃34;我们可以将搜索数字 b 限制为 b = s > * k ^ 2，但只有O（sqrt（n））这样的数字小于n＆＃34;。
让我们考虑一个例子。想象一下，我们有类似 n = 10,000的东西，我们正在寻找具有 a = 360 = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5的解决方案。具有奇数指数的素数在 a 中，因子分解为2和5（因此 s = 2 * 5; a = 10 * 6 ^ 2）。
由于 a * b 是一个完美的正方形，它意味着 a * b <素数因子分解中的所有素数/ em>甚至有指数。这意味着那两个素数（2和5）也需要出现在 b 的奇数指数分解中，其余的指数也在 b ＆ ＃39;主要因子化必须是均匀的。因此 b 的形式为 s * k ^ 2 = 10 * k ^ 2.
所以我们证明 b = 10 * k ^ 2.这很有用，因为我们现在可以枚举所有 b 的值这个形式很快（在O（sqrt（n））。我们只需要考虑 k = 1， k = 2，...， k =（int）sqrt（n / 10）。 k 的较大值导致 b 的值大于 n 。 k 值确定一个 b 值，我们需要验证它。请注意，在验证其中一个 b 值时，应首先检查是否它确实在集合B中，可以在O（1）中完成，并且sqrt（a * b）是否在集合C中，也可以在O（1）中完成。