Question

我一直认为已经证明pred在构造微积分的恒定时间内不能表达任何数据类型的编码。现在，请注意nats的这种编码：

S0 : ∀ (r : *) . (r -> r) -> r -> r
S0 = λ s z . z

S1 : ∀ (r : *) (((∀ (r : *) . (r -> r) -> r -> r) -> a) -> (a -> a)))
S1 = λ s z . (s (λ s z . z))

S2 : (∀ (r : *) . ((∀ (r : *) . ((∀ (r : *) . (r -> r) -> r -> r) -> a) -> a -> a) -> a) -> a -> a)
S1 = λ s z . (s (λ s z . (s (λ s z . z))))

这只是斯科特编码，除了我实际输入整个术语而不是使用递归。我注意到的是，在这个看似愚蠢的编码下，我实际上不仅可以定义Zero和Succ，还可以定义O(1) Pred：

SNat 
    =  λ (n : Nat)
    -> (n * 
           (λ (p:*) -> (∀ (r:*) . (p -> r) -> r -> r))
           (∀ (r:*) -> (r -> r) -> r -> r))

SNat_Zero
    =  λ (r : *)
    -> λ (s : r -> r)
    -> λ (z : r)
    z

SNat_Succ
    =  λ (k : Nat)
    -> λ (n : SNat k)
    -> λ (r : *)
    -> λ (s : (SNat k) -> r)
    -> λ (z : r)
    (s n)

SNat_Pred
    =  λ (k : Nat)
    -> λ (n : SNat (Succ k))
    -> λ (n (Maybe (SNat k))
            (p:(SNat k) (Maybe_Just (SNat k) p))
            (Maybe_Nothing (SNat k)))

注意：我刚用另一种语法翻译了这个。如果出现问题，this是正确的。您可以通过克隆此repo并输入以下命令来运行它：

cd calculus-of-constructions
npm i -g
cd lib
coc type SNat_Pred
coc norm SNat_Pred

这是可能的，因为我的实施有某种错误，或者我错误地认为存在所述证据？

Answer 1

我无法理解您的编码尝试做什么。但是您的存储库似乎具有以下定义（从文件Nat.coc和SNat.coc转换为类似Coq的语法）：

Definition Nat :=
  forall X : *, (X -> X) -> X -> X.

Definition SNat :=
  fun n : Nat => n * (* Some more stuff *).

如果我理解正确，SNat的定义是使用自然数n来迭代类型为* -> *的函数。这似乎不是很好的类型，因为n将*类型作为参数，因此需要* : *，这在CoC中无效。

如果不可能在CoC上使用O（1）pred，那么为什么这样做呢？

1 个答案: