将凸多边形拟合到另一个多边形

Question

我正在寻找一种算法，我可以检查凸多边形（形状1）是否适合另一个多边形（形状2）。

我的第一项研究将我带到了＃34;包装不规则的形状＆＃34;。这在我看来有点矫枉过正。我只有一个容器和一个对象。

形状1通常是凸多边形。形状2可以是凸面或凹面。

我的应用：我有三维激光扫描仪来测量原木，它给我形状2.我也有不同的切割轮廓，我认为是凸包，形状为1。

现在我想检查切割配置文件是否适合我的激光配置文件。

Answer 1

动机。如果您要问某个半径的圆盘B是否适合多边形P，那么computational geometry中有一个标准方法：检查最大内切圆是否有半径不小;见this stackoverflow answer：

计算最大内切圆的上述算法非常简单＆＃34;：计算所谓的Generalized Voronoi Diagram并获取具有最大间隙半径的Voronoi节点。 （这只是动机，请继续阅读一分钟。）

在你的情况下，你的Shape 2不是一个球;好吧，确切地说，不是欧几里得球。但实际上，你的Shape 2作为凸多边形B，可以定义凸距离函数并计算Voronoi diagram under this polyhedral distance function。但这是更多的理论背景，也许不是你想要为生产代码实现的东西。

这些Voronoi图与计算偏移曲线密切相关，例如，NC加工中的刀具路径规划。有关讨论和下图，请参阅此blog article：

当且仅当在距离r处存在偏移曲线时，半径为r的球B才适合形状P. （实际上，您获得了所有有效中心的集合，即半径为r的偏移曲线内的集合。）这些偏移曲线可以在数学上描述为Minkowski difference，如博客文章中所述。

<强>明可夫斯基差。 所以现在我们可以回到你原来的问题了。凸多边形B是否适合多边形P？当且仅当Minkowski差（P-B）是非空集时才会这样做; （P-B）中的任何中心都是一个例子。

基于上图的更多细节：让我们用点反射后的形状B表示-B = {-v：v in B}。 （在任何你喜欢的地方选择原点;我用小十字架用原点来表示它。）现在把-B看作笔的形状（蓝色）并移动你的笔（实际上是沿着P的边界交叉）你得到灰色区域。 （这是P与-B的边界的Minkowski sum。）从P中移除灰色区域，得到Minkowski差异P-B。选择P-B中的任何一点并在那里放置一份B的副本;它将适合P.我为你放了一些副本（橙色）。

<强>实现。 您可以通过单独考虑P的每个段s并沿其滑动-B来构建灰色区域。更确切地说，在-s的每个端点上放置-B的副本，并找到构成灰色区域边界的-B的两个副本的切线：

获取每段解决方案并计算P的所有段上的并集。然后从P中减去此并集。查看Clipper以获取可以为您执行此操作的开源库。

你得到的不仅是布尔答案，B是否适合P，而是B的所有有效中心的集合，以一组多边形的形式。也许这对你的应用程序也很有意思。

如果你允许旋转B，那么问题会变得更加复杂。也许你可以使用旋转角度的一些离散化。也许你在机器人运动规划领域找到了一些解决方案。与计算几何中的piano mover's problem相关。

Answer 2

要求：  你应该拥有两个（PolygonA，PolygonB）凸多边形的所有顶点坐标。

Step1 ：将两个凸多边形的所有点都放在一个集合中。
Step2：使用带有新点集的grahamscan查找凸多边形。
Step3：现在你有一个大凸多边形，它将包含两个凸多边形。这意味着你有新创建多边形的顶点，我们称之为PolygonC。

第4步：

• 现在检查polygonC和PolygonA是否具有相同的顶点集
• 如果是，则表示PolygonA包含PolygonB

• 如果上述条件不正确，请使用PolygonB重复检查

  如果任何Polygon的Above条件不为真，那么没有多边形适合另一个多边形。

  Graham Scan