Question

Heyo！

所以我得到了这个带有一堆顶点和边的有向和/或无向图。在该图中，有一个起始顶点和一个顶点。还有一个红色的顶点子集（该子集可以包括起始和结束顶点）。此外，没有一对顶点可以在它们之间具有多个边缘。

我要做的是找到：

A）没有通过红色顶点的最短路径

B）如果有一条通过至少一个红色顶点的路径

C）红顶点数量最多的路径

D）红顶点数量最少的路径

对于A，我使用广度优先搜索忽略红色分支。对于B我只是通过深度优先搜索图表来强制它。对于C和D，我使用动态编程，记忆我在所有路径中找到的红色顶点的数量，使用与B中相同的DFS。

我对所有解决方案都非常满意，我非常感谢任何建议！谢谢！

Answer 1

对于A，我使用广度优先搜索忽略红色分支

A）是子图中发生的典型寻路问题，不包含红边。所以你的解决方案很好（如果你能拿出一个，那么可以通过启发式方法进行改进，然后使用A *）

对于B我只是通过深度优先搜索图表来强制它

这就是好事。每个最佳路径A->C可以在任意中间点B分割。最佳路径的一个不错的特性是每个子路径都是最佳的。因此A->B和B->C是最佳的。

这意味着，如果您知道，您必须从某些start旅行到某些end 通过中间红色顶点，您可以执行以下操作：

从起始顶点执行BFS
从endvertex向后执行BFS（如果你的边缘被指示 - 我认为 - 你必须反过来，这里）

交替扩展两个BFS，以便它们的“边缘”（或打开的列表，因为它们被称为）与它们各自的开始具有相同的距离。

停止时间：

一个BFS击中另一个BFS遇到的红色顶点（或“封闭”列表中）。在这种情况下，每个BFS可以构建到该commen顶点的最佳路径。缝合两个半径，并且您拥有至少有一个红色顶点的最佳路径。
一个BFS被卡住（'open'列表为空）。在这种情况下，没有解决方案。

C）红顶点数量最多的路径

这是一个组合问题。我要做的第一件事就是制作一个[start node + red nodes + end nodes]的可达性矩阵，其中：

reachability[i, j] = 1 iff there is a path from node i to node j

要计算此矩阵，只需从起始节点和每个红色节点开始执行一次BFS搜索。如果BFS到达红色节点，则在相应的行/列中放置1。

这将抽象出图的基本复杂性，并在组合搜索上加速一个数量级。

问题现在通过连接矩阵longest path problem。动态编程确实是可行的方法。

D）红顶点数量最少的路径

只需执行Dijkstra搜索，但在“打开”列表中对节点进行排序时使用以下指标：

dist(start, a) < dist(start, b) if:
    numRedNodesInPath(start -> a) < numRedNodesInPath(start -> b)
    OR (
      numRedNodesInPath(start -> a) == numRedNodesInPath(start -> b)
      AND
      numNodesInPath(start -> a) < numNodesInPath(start -> a)
    )

为此，在发现新顶点时，您必须在专用地图中存储通向它们的路径（好吧，只是路径中的nb节点，以及红色节点的nb）被拿走了。我提到这一点是因为通常，路径的长度隐含地存储为数组中verrtex的位置。在你的情况下，你必须明确地强制执行它。

关于长度最优性的注意事项：

即使您声明您不关心问题A）之外的长度最优性，我提供的算法将产生最短长度的解决方案。在很多情况下（比如D），我相信Dijkstra会更好地收敛。

通过具有特殊顶点的图形寻路

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