Question

我需要帮助来解决这个问题：

您有一个图形G =（V，E），节点对s≠t∈V，并且您有节点U⊆V的子集，且存在ø≠U≠V且s，t exists U. 对于每个路径P，我们将其标记为L（P）路径的长度（路径中的边数）和#P（U）路径中节点U的数量，编写一种算法来查找从s到S之间的路径。应该两次精确地访问U ，以及所有这些曲目的最小长度。换句话说，该算法应返回从s到t的路径，其中#P（U）= 2，并且可以说我们还有一条从s到t的路径P'，其中#P'（U）= 2然后L（P）≤L （P'）（允许轨道多次通过某个顶点）。帮助：使用图归约G'

Answer 1

将轨迹分为5个步骤 {s} ∪X → U → X∪ {ε} → U → X∪ {t} where X = V \\ (U∪ {s, t}) (X组V以外的顶点（不是s或t）都不是首选顶点，这将确保#P（U）= 2，我们将使用BFS查找最短路径。

算法- 根据G（V，E）构造新的方向图G ^'=（V ^'，E ^'），如下所示：每个首选顶点u∈U，我们对V ^'so加两次，因此u_4∈V^'，u_2∈V^'。我们将s和t添加到新图中，并为每个x∈X顶点在新图中创建x_1，x_3，x_5。

For each arc (s, x) ∈E | x∈X, {(s, x_1)} ∈E ^ '
Per arc (s, u) ∈E | u∈U, {(s, u_2)} ∈E ^ '
For each arc (x, u) ∈E | x∈X, u∈U, {(x_1, u_2), (x_3, u_4)} ∈E ^ '
Per arc (u, x) ∈E | u∈U, x∈X, {(u_2, x_3), (u_4, x_5)} ∈E ^ '
Per arc (u, u ') ∈E | u, u'∈U, {(u_2, u_4 ^ ')} ∈E ^'
Per arc (u, t) ∈E | u∈U, {(u_4, t)} ∈E ^ '
For each arc (x, t) ∈E | x∈X, {(x_5, t)} ∈E ^ '

我们现在将从s开始对图G'进行BFS扫描。对于扫描中t的首次出现，从s到t的轨迹（在降低标记以使其在G中具有轨迹之后）是满足问题条件的最短轨迹。如果在扫描中没有找到t，则没有这样的轨迹。算法的正确性- #P（U）= 2-通过定义图G'，我们保证从s到t的每个轨迹将在U的顶点上精确通过两次（这可以通过将顶点标记为1-5阶段和始终保持圆弧来看出分阶段前进，而没有可能跳过U顶点的第2和第4阶段。最短的路径-使用BFS扫描可确保接受最短的路径，因为扫描是在出现在较早级别的顶点时执行的级别-不会在较晚级别出现。

最后，将标签放低以确保路线在G中。算法的复杂度- 通过一次遍历G的所有顶点和圆弧来构造图G'，因此以Θ（m + n）运行，在以Θ（m + n）运行的G'上扫描BFS（通过BFS运行时），我们得到运行时间总计为Θ（m + n）。

问题：通过首选顶点的最小路径

1 个答案: