找到多边形的对角线

Question

给定凹多边形（没有自交叉），其节点按顺时针顺序排列，我们如何确定其所有内部对角线（多边形内部的那些）？

我对不使用任何触发功能的解决方案感兴趣。

背景和我尝试的内容：

在我的计算几何类中，我们给出了以下算法来测试[pi, pj]是否是多边形p0, p1, ... pn-1中的内对角线：

1. 测试[pi, pj]是否与多边形的边缘相交。如果是的话，它不是内部对角线。如果没有，请转到步骤2.
2. 1. 如果pi是凸点（pi-1, pi, pi+1右转），那么[pi, pj]是内对角线iff pi, pj, pi+1和pi, pi-1, pj左转转。
   2. 如果pi不是凸点（pi-1, pi, pi+1左转），那么[pi, pj]是内对角线iff pj, pj-1, pi向左转。

该算法是针对涉及耳剪的三角测量算法而给出的。我实现了该算法，它似乎在那里工作正常，但问题是耳剪裁算法只使用[pi, pi+2]形式的对角线。

但是，请考虑选择所有非交叉对角线的强力三角测量算法。使用我描述的用于检查内部对角线的子程序（连同分段交叉方法），我得到以下结果：



很容易检查我发布的算法是否拒绝内部对角[3, 6]，实际上它不应该：

3不是凸点，6, 5, 3右转而不是左转，因此被拒绝。

请注意，使用耳剪裁算法时，此多边形会被正确地三角化。

我对如何调整此算法以检测多边形中的所有对角线感兴趣。我没有运气让它上班。

我还发现了这种方法的其他问题，例如绘制外部对角线的多边形。同样，那些使用耳剪裁算法。我们从未被告知这种方法仅适用于特殊形式的对角线，所以我正在寻找澄清。

注意：我无法决定是否在math.stackexchange.com或此处发布此内容，因为计算几何在编程和数学方面的处理方式有所不同，但我觉得程序员可能会比数学家更熟悉这种算法，因为有人可能实际上已经实现了这一点。

Answer 1

算法的2.1节看起来正在测试pj是否在pi-1, pi, pi+1定义的凸角的“内部”。

2.2节可以从2.1节得出，以便它在pj定义的凸角的“内部”中测试pi+1, pi, pi-1 不。这基本上是NOT (pi, pj, pi-1 and pi, pi+1, pj make a left turn) == pi, pj, pi-1 or pi, pi+1, pj make a right turn。

所以整个条款将是“如果pi是一个凹点，那么[pi, pj]是一个内部对角线iff pi, pj, pi-1或pi, pi+1, pj（或两者）右转。

Answer 2

几点说明：

1）通过比较角度很容易检查对角线是否在内部（例如，对角线4-6角度3-4-5大于角度3-4-6，因此它是内部对角线） 。我确信它可以通过矢量产品简化，但我的数学不太好。

2）要检查特定内部对角线是否与其他边缘不相交，可以检查多边形的点是否在预期的一侧。例如：如果我们尝试对角线1-4，则点2和3应位于一侧，而点5,6和7应位于另一侧。如果它不成立，则对角线与边缘相交。

Answer 3

请注意确保效率有多高，但您可以计算凸包，然后获取凸包中但不在原始多边形中的多边形列表（“排除”多边形）。 （在你的例子中，凸包将有顶点1,2,4,5,7，因此排除的多边形将是（2,3,4），（5,6,7）。）然后你想要的对角线是原始多边形的对角线，不与任何排除的多边形相交。但请注意，排除的多边形可能不是三角形，实际上可能不是凸面，因此线相交测试可能很笨拙。