Question

我试图解决2x2矩阵的特征向量。到目前为止，我只考虑其特征向量和特征值也是实数的真实矩阵。我目前在解决特征向量方面存在问题。

这是我到目前为止所做的：

public double[] getBasis(double[][] basis){

double a = basis[0][0];
double b = basis[0][1];
double c = basis[1][0];
double d = basis[1][1];

double eigenvalue1 = ((a+d) + Math.sqrt( Math.pow(a-d,2) + 4*b*c))/2;
double eigenvalue2 = ((a+d) - Math.sqrt( Math.pow(a-d,2) + 4*b*c))/2;
double tempx;
double tempy;

int counter = 1;
for (double y = -1000; y <= 1000; y++) {
    for (double x = -1000; x <= 1000; x++) {
        if (((a-eigenvalue1)*x + b*y == 0) && (c*x + (d-eigenvalue1)*y == 0)) {
            tempx = x;
            tempy = y;
            System.out.println("Eigenvector1: (" + x + "," + y + ")");
            System.out.println("Eigenvalue1: "+ eigenvalue1);

            }
         }
}   

for (double y = -10; y <= 10; y++) {
    for (double x = -10; x <= 10; x++) {
        if (((a-eigenvalue2)*x + b*y == 0) && (c*x + (d-eigenvalue2)*y == 0)) {
            tempx = x;
            tempy = y;                  
            System.out.println("Eigenvector2: (" + x + "," + y + ")");
            System.out.println("Eigenvalue2: " + eigenvalue2);
             }
            }
         }return eigenvector1;
}

}

这个方法应该有一个2x2数组的输入，我希望它输出两个标准化的特征向量。我怎样才能输出两个特征向量？另外，我不允许使用任何可以求解特征向量或值的包。基本的数学和算术是完全可以接受的。

Output:
Eigenvector1: (0.0,0.0)
Eigenvector1: (1.0,1.0)
Eigenvector1: (2.0,2.0)
Eigenvector1: (3.0,3.0)
Eigenvector1: (4.0,4.0)
Eigenvector1: (5.0,5.0)
Eigenvector1: (6.0,6.0)
Eigenvector1: (7.0,7.0)
Eigenvector1: (8.0,8.0)
Eigenvector1: (9.0,9.0)
Eigenvector1: (10.0,10.0)
Eigenvector2: (0.0,0.0)

如何才能为特征向量1和特征向量2选择一个向量。另外，如果矩阵有输入（1,1,1，-1），使得它是2x2矩阵，那么特征值应该是积极和消极的平方根2.我能够走得那么远。但是，一旦我尝试计算特征向量，我就不会得到特征向量的值。

**编辑：我添加了错误并取出了之前被卡住的无限循环 **

Answer 1

没有必要通过反复试验来解决特征向量的线性系统。

等式

(a-e)*x+b*y == 0

始终是解决方案

x = b,  y = -(a-e)

然后你必须规范化。您需要检查第一个等式是否具有全零系数，然后您必须使用第二个等式

c*x + (d-e)*y == 0

解决方案

x = -(d-e), y = c

如果第二个方程也具有全零系数，那么任何向量都是一个特征向量，因为矩阵是对角矩阵diag（[e，e]）。

这应该会产生一些像

这样的代码

e = eigenvalue1;
x = b; y = e-a;
r = Math.sqrt(x*x+y*y)
if( r > 0) { x /= r; y /= r; }
else {
    x = e-d; y = c;
    r = sqrt(x*x+y*y)
    if( r > 0) { x /= r; y /= r; }
    else {
        x = 1; y = 0;
    }
}
System.out.println("Eigenvector1: (" + x + "," + y + ")");

e = eigenvalue2;
x = b; y = e-a;
r = Math.sqrt(x*x+y*y)
if( r > 0) { x /= r; y /= r; }
else {
    x = e-d; y = c;
    r = sqrt(x*x+y*y)
    if( r > 0) { x /= r; y /= r; }
    else {
        x = 0; y = 1;
    }
}
System.out.println("Eigenvector2: (" + x + "," + y + ")");

Answer 2

根据您的编辑评论，我认为此修订后的代码应该产生您想要的内容。我删除了你的临时变量，我将你的计算基值作为2元素数组返回。对不起，如果我说错了什么，我的数学有点生锈。

public static void main(String[] args) {
    // the input matrix
    double[][] matrix = {
        {1.0, 1.0},
        {1.0, -1.0}
    };

    // compute the basis
    double[] basis = getBasis(matrix);

    System.out.println("Basis: (" + basis[0] + ", " + basis[1] + ")");
}

public double[] getBasis(double[][] matrix){

    double a = matrix[0][0];
    double b = matrix[0][1];
    double c = matrix[1][0];
    double d = matrix[1][1];

    double eigenvalue1 = ((a+d) + Math.sqrt( Math.pow(a-d,2) + 4*b*c))/2;
    double eigenvalue2 = ((a+d) - Math.sqrt( Math.pow(a-d,2) + 4*b*c))/2;

    // store the basis in a 2 element array
    double[] basis = new double[2];

    for (double y = -1000; y <= 1000; y++) {
        for (double x = -1000; x <= 1000; x++) {
            if (((a-eigenvalue1)*x + b*y == 0) && (c*x + (d-eigenvalue1)*y == 0)) {
                System.out.println("Eigenvector1: (" + x + "," + y + ")");
                basis[0] = eigenvalue1;
            }
        }
    }   

    for (double y = -10; y <= 10; y++) {
        for (double x = -10; x <= 10; x++) {
            if (((a-eigenvalue2)*x + b*y == 0) && (c*x + (d-eigenvalue2)*y == 0)) {
                System.out.println("Eigenvector2: (" + x + "," + y + ")");
                basis[1] = eigenvalue2;
            }
        }
    }

    return basis;
}

输出：

Basis: (1.4142135623730951, -1.4142135623730951)

如何使用Java求解2x2矩阵的特征向量

2 个答案: