Question

给出x, y平面中的两个点：

x, f(x)
1, 3
2, 5

我可以使用拉格朗日对其进行插值并找到f(1.5)，结果为4。稍微思考一下，我设法找到了发现方程系数的方法：

void l1Coefficients(const vector<double> &x, const vector<double> &y) {

    double a0 = y[0]/(x[0]-x[1]);
    double a1 = y[1]/(x[1]-x[0]);

    double b0 = (-x[1]*y[0])/(x[0]-x[1]);
    double b1 = (-x[0]*y[1])/(x[1]-x[0]);

    double a = a0 + a1;
    double b = b0 + b1;

    cout << "P1(x) = " << a << "x +" << b << endl;
}

这给了我P1(x) = 2x +1。

多思考一下，我能够将其扩展到2nd阶方程式。所以，鉴于要点：

1, 1
2, 4
3, 9

我找到了等式P2(x) = 1x^2 +0x +0，其中包含以下内容：

void l2Coefficients(const vector<double> &x, const vector<double> &y) {

    double a0 =              y[0] / ((x[0]-x[1])*(x[0]-x[2]));
    double a1 =              y[1] / ((x[1]-x[0])*(x[1]-x[2]));
    double a2 =              y[2] / ((x[2]-x[0])*(x[2]-x[1]));

    double b0 = -(x[1]+x[2])*y[0] / ((x[0]-x[1])*(x[0]-x[2]));
    double b1 = -(x[0]+x[2])*y[1] / ((x[1]-x[0])*(x[1]-x[2]));
    double b2 = -(x[0]+x[1])*y[2] / ((x[2]-x[0])*(x[2]-x[1]));

    double c0 =  (x[1]*x[2])*y[0] / ((x[0]-x[1])*(x[0]-x[2]));
    double c1 =  (x[0]*x[2])*y[1] / ((x[1]-x[0])*(x[1]-x[2]));
    double c2 =  (x[0]*x[1])*y[2] / ((x[2]-x[0])*(x[2]-x[1]));

    double a = a0 + a1 + a2;
    double b = b0 + b1 + b2;
    double c = c0 + c1 + c2;

    cout << "P2(x) = " << a << "x^2 +" << b << "x +" << c << endl;
}

努力工作我实际上能够找到最多4阶的方程式的系数。

如何找到订单n方程的系数？哪里

Pn(x) = c_2x^2 + c_1x^1 + c_0x^0 + ...

Answer 1

这是一个简单的线性代数问题。

我们有一组形式为x _k的N个样本 - ＆gt; f（x _k）我们知道函数f（x）的一般形式，即：

f（x）= c ₀ x ⁰ + c ₁ x ¹ + ... + ç<子> N-1 X ^N-1

我们想要找到系数c ₀ ... c _N-1。为此，我们构建了一个N形式的方程组：

c ₀ x _k ⁰ + c ₁ x _k ¹ + ... + c _N-1 x _k ^N-1 = f（x _{k < /子>）}

其中 k 是样本编号。由于x _k和f（x _k）是常数而不是变量，我们有一个线性方程组。

用线性代数表示，我们必须解决：

Ac = b

其中A是 x 的幂Vandermonde matrix， b 是f（x _k）值的向量。

要解决此类系统，您需要一个线性代数库，例如Eigen。有关示例代码，请参阅here。

这种方法唯一可能出错的是线性方程组不确定，如果你的N个样本可以用小于N-1的多项式拟合，就会发生这种情况。在这种情况下，您仍然可以使用Moore-Penrose伪逆解决此系统：

c = pinv（A）* b

不幸的是，Eigen没有pinv()实现，但在奇异值分解（SVD）方面，您自己编写代码非常容易。

Answer 2

我创建了矩阵解决方案的简单实现：

{{1}}

如何找到多项式方程的系数？

2 个答案: