Question

所以这里有一个算法，它应该返回给定多项式的P（x）的多项式值和任何给定的x。

A []是系数数组，P []是x数组的幂。

（例如x ^ 2 + 2 * x + 1将具有：A [] = {1,2,1}，P [] = {2,1,0}）

此外，recPower（）= O（logn）

int polynomial(int x, int A[], int P[], int l, int r)
{
    if (r - l == 1)
        return ( A[l] * recPower(x, P[l]) ) + ( A[r] * recPower (x, P[r]) );
    int m = (l + r) / 2;
    return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);
}

如何计算这个时间复杂度？由于if语句，我感到困惑。我不知道复发关系是什么。

Answer 1

观察后可能会有所帮助：我们r = l + 1时，我们会花费 O（logn）时间，我们就完成了。

我的回答需要对Recursion Tree有很好的理解。所以明智地继续。

所以我们的目标是找到：经过多少次迭代我们能够判断出我们有r = l + 1？

让我们看看：

专注于return polynomial(x, A, P, l, m) + polynomial(x, A, P, m, r);

我们首先考虑左函数polynomial(x, A, P, l, m)。需要注意的关键是l在所有后续左函数中递归地保持不变。

左边的函数我的意思是polynomial(x, A, P, l, m)，右边的函数我的意思是

polynomial(x, A, P, m, r)。

对于左功能polynomial(x, A, P, l, m)，我们有：

第一次迭代

l = l and r = (l + r)/2

第二次迭代

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

这意味着

r = (2l + l + r)/2

第三次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

这意味着

r = (4l + 2l + l + r)/4

第四次迭代

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

这意味着

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

这意味着在第n次迭代中我们有：

r = (l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n

和终止条件为r = l + 1

解决(l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n = l + 1，我们得到

2^n = r - l

这意味着n = log(r - l)。有人可能会说，在左边函数的所有后续调用中，我们忽略了另一个调用，即正确的函数调用。原因是：

因为在正确的函数调用中我们l = m，其中m已经减少，因为我们采用均值，r = r，这是更平均的，这渐近不会对时间复杂度产生任何影响

因此我们的递归树将具有最大深度= log（r - l）。确实不是所有级别都会完全填充，但为了简单起见，我们在渐近分析中假设这一点。因此，在达到log(r - l)的深度后，我们调用函数recPower，这需要 O（logn）时间。深度log(r - l)的总节点（假设上面的所有级别都已满）为2^(log(r - l) - 1)。对于单个节点，我们采用 O（logn）时间。

因此我们有总时间= O（logn *（2 ^（log（r - l） - 1））））。

Answer 2

这可能会有所帮助：

{{1}}

其中a和b是常数，而#terms是指多项式中的项数。可以使用Master's定理或使用递归树方法来解决此递归关系。

计算算法

2 个答案: