检查三个圆圈是否适合三角形

Question

我已经考虑过写一个程序的时间，告诉我三个具有给定直径的圆是否可以适合具有给定边长的三角形，而不会相互重叠（触摸是可以的）。

如何考虑这样做？

Answer 1

我会尝试找到一些方法来枚举三个圆圈的可能配置，然后测试每个配置，直到找到三个圆圈适合的位置，或者直到所有配置都经过测试和拒绝。

（在下文中我假设每个圆圈都已知道它本身适合三角形。显然，如果任何圆圈不能自适应，那么它就不适合三个圆圈的任何配置。）

配置（1）涉及在三角形的每个角上放置一个圆圈。 （这是每个人都发现的配置。）

有六种方法可以排列圆圈，每种方式都足以检查圆圈是否成对：

距离AS 1为r 1 / tan（½α），距离S 2 B为r 2 / tan（½β），距离S 1 S 2为√（（r 1 + r 2）² - （r 1 - r 2）²）=2√r1r2

如果AS 1 + S 1 S 2 + S 2B≤AB，则圆圈适合。

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在配置（2）中，我们将两个圆放入三角形的两个角，第二个圆放在这两个角之间，两个边之一不接触两个圆：

确定这些是否合适有点复杂：

为了找到AS 1的长度，我们必须从C角经C点绕三角形走。我将把这个细节留作练习。

有十八种方法可以将圆圈排列到此配置中。

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是否有配置（3）？我看了，但找不到一个不能变成我给的两个中的一个。例如，如果所有三个圆圈都触及同一侧，那么总是有空间将中间圆圈交换到另一侧，从而获得配置（2）。然而，几何配置的枚举总是很棘手，我很容易错过一个。

Answer 2

猜猜：你的问题可能与Appolonius的圈子有关。

我试图在第4个圆圈中递归拟合3个圆圈而没有任何交叉点进行分形动画时遇到了它，所以它可能值得一试。

你会在Wolfram中找到它的详细解释（这个问题仅在1968年解决）： http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html

Answer 3

这似乎是一个棘手而有趣的问题。通过1994年Los和Zalgaller对大理石问题（与Malfatti's Circles相关）的解决方案，您可能有可能繁琐地提取必要的条件以存在三个非配置 - 在具有规定边长的三角形内具有给定半径的重叠圆。如果您可以将它们放置在三角形内，则它们的面积之和最多为圆内三个三角形的最大可能区域。大理石问题是确定给定三角形内三个非重叠圆的最大面积的问题。现在，我看不出这也是足够的。

作为一个开始，也许值得引入一个ε问题，然后寻找一个算法，在一个有限的步骤中，可以确定一个配置是否最多“ε”坏（定义以某种合理的方式存在。

一些世界顶级数学家定期参加stackoverflow的兄弟姐妹， mathoverflow.org，所以你可以尝试在那里发布这个问题。

感谢您发布此内容。

Answer 4

我认为尝试所有6种可能的排列（A1 B2 C3，A2 B1 C3，A1 B3 C2，A3 B1 C2，A2 B3 C1，A3 B2 C1）就足够了。如果一个圆与三角形的两条边不相切，那么它的位置在某种意义上是次优的，你可以通过将它滑入一个角来为其他两个创造更多的空间。如果可以将三个圆圈粘在三角形中而不重叠它们，则可能将它们滑入角落（对于它们全部卡在边缘的情况，将它们全部抬起并旋转60度）。当然，这不是一个严格的证据，但我很确定它有效。 此外，我想解决方案总是将最大的圆放在最宽的角度，因为那些可能占据最中心的三角形空间。