给定一组n点和n x n距离矩阵，如何准确选择这些点k，使得直径（任意两个选定点之间的最大距离）为最小化？距离度量服从三角不等式，但不一定是欧几里德或闵可夫斯基距离。我们可以假设所有距离都是成对不同的。
此外，我想为n - 1, n - 2, ... n - d范围内的所有k解决此问题。我知道这可以比检查每个n choose k的所有k组合快得多，但我提出的解决方案仍然不是很有效（我很确定多项式时间解决方案可以做到这一点）不存在，但我想知道是否有可能做得更好。）
我提出的唯一方法是递归方法。找到它们之间距离最大的两个点p1和p2（按距离排序所有对）。然后k = n - 1情况是由所有点减去p1或p2组成的集合之一。一个可能比另一个好，或者它可能是平局。 k < n - 1的所有解决方案必须是其中一个集合的子集（不能包含p1和p2），但不一定是获胜的集合。继续检查这两组的子集。我认为这类似于O(n^2 log n + 2^d)，但只要k足够小，就可以比检查每个n - d的所有组合更好d。我认为至少k / 2）。
相关问题 - 找到直径不大于t的最大子集 - 相当于independent set problem（带有距离大于t的边的图表）但是这个已知是NP难的。
这些解决方案都没有利用三角不等式，这让我有一种希望能够找到更有效的解决方案。
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遵守三角不等式的指标应该能够支持https://en.wikipedia.org/wiki/Cover_tree。如果在实践中度量与低维空间大致相同，这将节省搜索关闭点的时间。
鉴于此，我将运行分支和边界搜索，递归搜索所有（n选择k）可能性，但通过从覆盖树中可逆地删除子树来尽快丢弃部分解决方案。在搜索的每个阶段，您都有一个与目前为止找到的最佳答案相对应的距离（在开始时这可能是无穷大或猜测）。向当前部分解决方案添加点时，可以从封面树中可逆地删除子树，这些子树仅包含距离刚刚添加的点的当前最佳距离大于或等于的点。使用覆盖树，您可以使用三角形不等式的推导来检查：d（a，b）+ d（b，c）＆gt; = d（a，c）意味着d（a，b）＆gt; = d（a，c） - d（b，c）。如果您发现剩余封面树中没有足够的点来完成当前的部分解决方案，则可以从递归的该部分返回。
答案 1 :(得分：0)
对于与所有距离相当的所有D：
考虑graph，其顶点集是您的点集和边缘
是{p，q}对，使得这些点之间的距离大于而不是D.
当且仅当其补码为vertex cover时，一组点的直径最多为D。
因此，你的问题是NP难，但变成了
当由n-k参数化时，fixed-parameter tractable：
使用this algorithm二进制搜索来确定最低值
D可以在的距离之间的间隙以及缺失点达到该差距。