Question

给定边长 l 的 n 正方形，如何确定圆的最小半径 r ，以便我可以分配所有正方形均匀地沿着圆周边而没有重叠？（约束：第一个方格将始终位于12点。）

后续问题：如何放置高度为 h 和宽度 w 的 n 相同的矩形？

Answer 1

可能有一种数学上聪明的方法来做到这一点，但我不知道。我觉得有点复杂，因为每个不同数量的正方形的几何形状都不同;对于4它是菱形，对于5它是五边形，依此类推。

我要做的是将这些方块放在1个单位的圆上（太小，我知道，忍受我），平均分布在它上面。这很容易，只需将你的360度对等（划分）为正方形。然后测试你所有的方块与他们的邻居重叠;如果它们重叠，则增加半径。

通过使用智能算法接近正确的大小，您可以使此过程不那么愚蠢。我正在考虑像牛顿算法这样的东西：给定两个连续的猜测，其中一个太小而一个太大，你的下一个猜测需要是这两个的平均值。

~~您可以迭代到您喜欢的任何精度。每当猜测之间的距离小于某个任意小的误差范围时停止。~~

编辑我有更好的解决方案：

如果你问“我怎么知道方块是否重叠？”我正在考虑告诉你什么。这让我对如何准确地计算圆周大小有了一个想法：

将你的方块放在一个太小的圆圈上。您知道如何：计算360 / n角与其相交的圆上的点，并将正方形的中心放在那里。实际上，您还不需要放置方块，接下来的步骤只需要中点。

计算方形与其邻域的最小距离：计算X的差异和中点的Y差异，并取最小值。 X和Y实际上只是圆圈上的余弦和正弦。

您希望任何方格的最小值与其邻居相比（顺时针方向，比如说）。因此，您需要绕着圆圈找到最小的圆圈。

方块之间的最小（X或Y）距离需要变为1.0。因此，只需取最小距离的倒数并乘以圆的大小即可。 Presto，你的圈子大小合适。

修改

在不失一般性的情况下，我认为可以将我的解决方案略微下调，以便接近编码。这是一个改进：

假设正方形的大小为1，即每个边的长度为1个单位。最后，你的盒子肯定会大于1个像素，但这只是缩放的问题。

摆脱角落案件：

if (n < 2) throw new IllegalArgumentException(); if (n == 2) return 0.5; // 2 squares will fit exactly on a circle of radius 0.5

以0.5的圆圈尺寸r开头，对于任意数量的正方形而言，这肯定太小了＆gt; 2。

r = 0.5; dmin = 1.0; // start assuming minimum distance is fine a = 2 * PI / n; for (p1 = 0.0; p1 <= PI; p1+=a) { // starting with angle 0, try all points till halfway around // (yeah, we're starting east, not north. doesn't matter) p2 = p1 + a; // next point on the circle dx = abs(r * cos(p2) - r * cos(p1)) dy = abs(r * sin(p2) - r * sin(p1)) dmin = min(dmin, dx, dy) } r = r / dmin;

修改

我将其转换为真正的Java代码并运行与此类似的东西。代码和结果在此处：http://ideone.com/r9aiu

我使用GnuPlot创建了图形输出。通过将输出中的点集剪切并粘贴到数据文件然后运行，我能够创建简单的圆形框图。

plot '5.dat' with boxxyerrorbars

文件中的.5用于调整框的大小...懒惰但工作正常。 .5适用于中心的两侧，因此盒子的大小正好是1.0。

唉，我的算法不起作用。它使得半径太大，因此将盒子放置得比必要的远得多。即使按比例缩小2倍（在某些地方使用0.5可能是错误的）也无济于事。

~~抱歉，我放弃了。也许我的方法可以被挽救，但它不会像我那样工作。：（~~

修改

我讨厌放弃。当我想到一种方法来挽救我的算法时，我正要离开我的电脑：

该算法将X或Y距离的较小调整为至少为1.很容易证明这只是愚蠢的。当你有很多盒子然后在圆圈的东边和西边时，你的盒子几乎直接堆叠在一起，它们的X彼此非常接近，但是它们之间只有足够的Y距离就可以保存它们。它们。

所以......为了使这个工作，你必须将dx和dy的最大缩放到（对于所有情况）至少半径（或者它是半径的两倍？）。 / p>
更正后的代码位于： ~~http://ideone.com/EQ03g~~ http://ideone.com/VRyyo

再次在GnuPlot中测试，它会产生漂亮的小圆圈，有时只有1或2个盒子正在接触。 问题解决了！：）

（这些图像比它们高很宽，因为GnuPlot不知道我想要比例布局。想象一下整个作品被挤成方形:)）

Answer 2

我会计算最小半径的上限，方法是使用包围正方形的圆圈而不是正方形本身。

我的计算结果为：

Rmin＆lt; = X /（sqrt（2）* sin（180 / N））

其中： X是方形边长，N是所需的平方数。

我认为圆圈的位置使得它们的中心位于大圆周上。

- 编辑 -

在下面的评论中使用Dave的想法，我们也可以通过考虑圆形在正方形内（因此具有半径X / 2）来计算一个漂亮的下界。这个界限是：

Rmin> = X /（2 * sin（180 / N））

Answer 3

如已经指出的那样，将圆形圆周等间隔的n个点定位的问题是微不足道的。问题的（非常非常）困难的部分是找出给出方形的令人愉悦的布局所需的圆的半径。我建议你按照其他一个答案进行思考，然后把方块想象成一个圆形的“缓冲区”，大小足以容纳正方形和足够的空间以满足你的审美要求。然后检查相邻正方形中心之间chord length的公式。现在你有一个角度，在圆心，由方形中心之间的和弦对齐，可以很容易地从三角形的三角学计算圆的半径。

并且，关于你的后续问题：我建议你解决圆周边长min(h,w)的正方形的问题，然后将正方形转换为矩形，将圆转换为具有偏心率的椭圆h / w（或w / h）。

Answer 4

从一个任意圆开始（例如，直径为(* n l)）并将方块均匀地放在圆周上。然后你通过每对相邻的广场和：

计算连接其中点的直线，

计算此线与插入的方形边的交点（M1和M2是中点，S1和S2是与方边相对应的交点：

                S2         S1
M1--------------*----------*---------------M2

------------------------
|                      |
|                      |
|                      |
|                      |
|          M1          |
|           \          |
|            \         |
|      -------*------- +--------
|      |       \       |       |
|      |        \      |       |
-------+---------*------       |
       |          \            |
       |           M2          |
       |                       |
       |                       |
       |                       |
       |                       |
       -------------------------

计算使S1和S2合在一起所需的比例因子（简单地说是M1-S1和S2-M2之和与M1-M2之比），

最后通过找到的比例因子的最大值来缩放圆圈。

编辑：这是确切的解决方案。但是，有一点想法可以进一步优化速度：

您只需要对最接近45°的方块（如果 n 是偶数）执行此操作。 45°和135°（如果 n 是奇数;实际上，您可能证明只需要其中一个）。
对于大 n ，圆上正方形的最佳间距将快速接近正方形对角线的长度。因此，您可以预先计算一些小的 n （最多十几个）的缩放因子，然后用对角线进行足够好的近似。

Answer 5

我会这样解决：

要找到半径r和长度l之间的关系，让我们分析无量纲表示

以圆圈（x1，y1）...（xn，yn）
从每个中心到第i个第1个方格的第i个方块和左上角的右下角
两个点应该具有相等的x或相等的y，以较小的l
程序，产生最小l的程序是最终解决方案。

这是最佳解决方案，可以用r = f（l）来解决。通过调整xLR [i]和yUL [i + 1]的公式，可以使解决方案适应矩形。

会尝试给出一些伪代码。

编辑：
程序中存在一个错误，右下角和左上角不是两个相邻正方形/矩形的必要最近点。

Answer 6

我们假设你解决了3或4个方格的问题。

如果你有 n ＆gt; = 5个方格，并且在圆的顶部放置一个方格，你将有另一个方形落入与你的圆同心的笛卡尔平面的第一个象限

问题是找到圆的半径 r ，使得圆圈的左侧与顶部圆圈相邻，而顶部圆圈的右侧不会“交叉”其他

顶部圆圈右侧的 x 坐标是 x1 = L / 2，其中 L 是正方形的一面。顶部旁边的圆圈左侧的 x 坐标为 x2 = r cos a - L / 2，其中 r 是半径， a 是每对方形中心之间的角度（ a = 360 / n 度）。

所以我们需要解决 x1 ＆lt; = x2 ，这会导致

r ＆gt; = L / cos a 。

L 和 a 已知，所以我们完成了： - ）

将正方形定位在最小直径的圆上

6 个答案: