快速计算所有未成年人（和未成年人的未成年人）的决定因素

Question

我有一个可逆的Hermitian矩阵和平方子矩阵，已定义：

我需要知道每个的决定因素。

在MATLAB中有一种快速的计算方法吗？

这是不好的方法：

• 循环[1:2^K]
• 将循环索引转换为二进制向量vSubset
• 计算det(mtxM(vSubset,vSubset))

这很慢并且看起来很浪费，因为你可以从未成年人的决定因素中构建父矩阵的行列式。

Answer 1

一种方法是使用Cholesky分解。我使用下面的上三角形，以便

M = U'*U

其中＆＃39;是伴随的，U是上三角形。 注意det（M）= square（| det（U）|）并且U的行列式是其对角元素的乘积。

我们可以通过添加如下行和列来计算从M获得的矩阵的因子：

M~ = ( M  n )
     ( n' p )
U~ = ( U  x )
     ( 0  y )

其中

U'*x = n 
y = sqrt( p - x'*x)

所以det（M~）= det（M）*（p - x＆＃39; * x）

我不确定使用它的最佳方法。有一种非常简洁的递归方式：伪C代码

void det_step( double* U, double det, int high_ix)
{ 
int ix;
  for( ix=high_ix+1; ix<dim; ++ix)
  { // notionally add row, col ix
    // augment U, update det (and store in the output)
    det_step( U, det, ix);
  }
}
void dets( double* M, int dim)
{
int ix;
   for( ix=0; ix<dim; ++ix)
   { // compute U and det for matrix consisting of just row/col ix
     // store det in the output
     det_step( U, det, ix);
   }
}