我目前正在使用Shader Model 4（DirectX 10 HLSL）实现3D Perlin噪声凹凸贴图。生成噪声本身并不是一个大问题（有大量的教程和代码），但我没有找到3D Perlin噪声的分析衍生物。
考虑衍生品的唯一网站是Ińigo Quilez's site和相关的GameDev.net discussion。问题是在第一个链接中噪声是基于值的，而不是基于梯度的（这是我的要求），在第二个链接中，只有2D梯度噪声导数。
请注意，我不是在寻找数值导数，因为那些需要生成4个相邻的噪声样本，而且开销太多了。
有人计算过这些衍生物吗？是否有使用它们的参考实现？
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我今天也无法在网上找到解决方案，所以我试图推导出它。
首先定义了3D Perlin噪声的符号。
假设3D Perlin噪声由三线性插值计算为
n = Lerp(
Lerp(
Lerp(dot000, dot100, u),
Lerp(dot010, dot110, u),
v),
Lerp(
Lerp(dot001, dot101, u),
Lerp(dot011, dot111, u),
v),
w)
其中u，v，w是分数坐标的五次多项式的插值因子（即改进的Perlin噪声）：
x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1
u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)
和dot___是格点处的梯度向量(gx___, gy___, gz___) s的点积和分数坐标：
dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1
首先，计算u，v和w
u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)
通过n展开Lerp(a, b, t) = a + (b - a) * t，
n = dot000
+ u(dot100 - dot000)
+ v(dot010 - dot000)
+ w(dot001 - dot000)
+ uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
然后取n，
nx = gx000
+ u' (dot100 - dot000)
+ u (gx100 - gx000)
+ v (gx010 - gx000)
+ w (gx001 - gx000)
+ u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uv (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
+ u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ uw (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
+ vw (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
+ u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)
，
ny = gy000
+ u (gy100 - gy000)
+ v' (dot010 - dot000)
+ v (gy010 - gy000)
+ w (gy001 - gy000)
+ uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uv (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
+ uw (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
+ v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ vw (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
+ uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)
，
nz = gz000
+ u (gz100 - gz000)
+ v (gz010 - gz000)
+ w' (dot001 - dot000)
+ w (gz001 - gz000)
+ uv (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
+ uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ uw (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
+ vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ vw (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
+ uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)
然后(nx, ny, nz)是噪声函数的梯度向量（偏导数）。
如果编译器无法处理它，可以将一些常见的子表达式考虑在内。例如：
uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w
展开的n中的系数被重复使用多次。它们可以通过以下方式计算：
k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3
衍生物也具有相似的系数，
gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...
n的计算可以使用展开式表单k0，... k6。
此解决方案已针对中心差异法进行了验证。
尽管这个解决方案看起来很笨拙，但我的实验（仅限CPU，SSE）表明，通过此解决方案计算这些衍生产品只会产生 50％的额外时间来计算单个3D Perlin噪声样本。
有限差异至少需要300％的额外时间（额外3个样本）或600％（中心差异需要6个样本）。
因此，这种解决方案在性能上更好，并且在数值上也应该更稳定。