Question

考虑以下提取的代码片段，以证明＆＃34;键入的单一性＆＃34;对于Agda中的变量：

unicity : ∀ {Γ₁ Γ₂ e τ₁ τ₂} →  (Γ₁ ⊢ e ∷ τ₁) → (Γ₂ ⊢ e ∷ τ₂) → (Γ₁ ≈ Γ₂) → (τ₁ ∼ τ₂)
unicity   (VarT here) (VarT here) (_ , ( τ∼ , _ ))   = τ∼ 
unicity (VarT here) (VarT (ski`p {α = α} lk2)) (s≡s' , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness` s≡s'))
unicity (VarT (skip {α = α} lk1)) (VarT here) (s'≡s , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness s'≡s))
unicity (VarT (skip lk1)) (VarT (skip lk2)) (_ ,( _ , Γ≈ ))     = unicity (VarT lk1) (VarT lk2) Γ≈

我需要解释⊥-elim，toWitnessFalse和toWitness的工作原理。此外，⊤和⊥表达式的含义是什么？

Answer 1

⊥是空类型，因此（以完全一致的语言），您永远不能构造类型为⊥的值。但是，你可以想到的任何命题also means都来自⊥。这就是⊥-elim证人：

⊥-elim : ∀ {w} {Whatever : Set w} → ⊥ → Whatever

这在实践中非常有用，因为您可能在某些假设下编写证据，其中一些假设可能是⊥，或者它们可能是否定陈述（A → ⊥对于某些A并且你也可以证明A等等。然后，你发现的是有效的，你不再需要关心那个特定的分支，因为它是不可能的;但是，仅仅因为你不在乎，你仍然必须以某种方式正式满足结果类型。这是⊥-elim给你的。

toWitness的类型和相关定义如下：

T : Bool → Set
T true  = ⊤
T false = ⊥

⌊_⌋ : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Bool
⌊ yes _ ⌋ = true
⌊ no  _ ⌋ = false

True : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Set
True Q = T ⌊ Q ⌋

toWitness : ∀ {p} {P : Set p} {Q : Dec P} → True Q → P

鉴于Q : Dec P，True Q为⊤（如果Q = yes _）或⊥（如果Q = no _）。那么，调用toWitness的唯一方法是让Q说P为真，并传递琐碎的单位构造函数tt : ⊤;唯一的另一种可能性是让Q说P是假的，并以⊥作为参数传递，但正如我们所见，这是不可能的。总而言之，toWitness表示如果Q告诉我们P持有的决定，那么我们可以从P获得Q的证明。

toWitnessFalse与被撤消的角色完全相同：如果Q告诉我们P不成立的决定，那么我们可以获得¬ P的证明来自Q。

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1 个答案: