我们必须进行操作以排序＆＃34; n＆＃34;项目

Question

假设我有n个具有不同（可能是随机）权重的对象。对象标记为1到n，并且未对其进行排序。

我打算根据权重对n个对象进行排序。我唯一拥有的工具是一个带有两个板的刻度，我可以通过它来成对地比较对象，然后注册成对的＆＃39;日志上的结果。我想知道，在最坏情况中，我需要多少次按比例进行称重操作。

我认为这很难，我认为我必须进行称重操作的次数是

(n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 + 0

因此，结果将是(n-1)*n/2。因此，大O将是O(n2)

但我不确定我的计算是否正确。我想知道是否有人可以建议这个解决方案是否错误。如果是这样，那么答案是正确的。

我的理由是，对于对象编号n，我必须将它与n-1对象进行比较，然后我将能够记录有多少对象比它更重/更轻。因此，我将知道对象n在所有对象中的位置。

对于对象编号n-1，我必须使用n-2个对象进行称量操作...对象编号1我必须使用0进行称量操作对象。因此，总称重操作可能是：

(n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 + 0

Answer 1

这是计算机科学的标准结果。您可以使用merge sort执行Θ(n log(n))比较。

没有渐近更好的方法的证明如下：对象最初可以是n!个不同的排列，并且单个称量最多可以将可能性的数量减半。所以log2(n!) = O(n log2(n))是任何最优排序算法比较次数的最坏情况下限。

Answer 2

您可以优化结果。结果将是O(nlogn)。但怎么样？让我们看看，假设你已经平衡了i对象并对它们进行了排序..

1, 2, 3 ,4 , ...... , i. 

现在，当您必须选择(i+1)th时，您可以使用二进制搜索。首先从您选择的对象中选择中间对象，然后与当前对象进行比较，如果它比当前对象重，则对象将放置在中间的左侧，否则它将放置在中间的右侧。所以任何ith对象都需要log(n)个步骤。因此，对于n个对象，您需要O(nlogn)个步骤。