比较两个函数的增长率。 （棘手）

Question

我需要比较以下功能的增长率：

f（n）= 2 ^ n且g（n）= n ^ log（n）（当n接近正无穷大时）。

这甚至可能吗？

Answer 1

让n = 2^k。我们有：

2^n = 2^(2^k)
n^log(n) = (2^k)^log(2^k) = (2^k)^(k log 2)
         = 2^(k^2 log 2)

现在将2^k与k^2 log 2进行比较。这是一个基本比较：2^k对于所有足够大的k来说都更大。

Answer 2

将log（基数2）用于这两个函数，我们得到log(f(n)) = n log(g(n)) = (log(n))^2。

现在，(log(n))^2 = o(n)和log是一个单调递增的函数，我们有

g(n) = o(f(n))，即f(n)对n的大值增长更快。

以下是另一种更严格证明这一点的方法：

让L = lim{n->inf} g(n) / f(n) = lim{n->inf} n^(log(n))/2^n。

因此log (L) = lim{n->inf} log^2(n) - n

  ` = lim{n->inf} n*(log^2(n)/n) - 1)`

  ` = lim{n->inf} (n) * lim{n->inf} (log^2(n)/n) - 1)`

  ` = lim{n->inf} (n) * (0-1)`

  ` = lim{n->inf} (-n) = -inf`

=> L = 2^(-inf) = 0

根据o(n)的替代定义（小o，请参阅此处：https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation），

L = lim{n->inf} g(n) / f(n) = 0

=> g(n) = o(f(n))。

以下是比较原始和对数比例f(n)和g(n)增长的数据：