Question

通常，要处理超出C ++中long long范围的整数，您必须将它们表示为字符串并以这种方式对它们执行操作。但是，我在互联网上发现这个代码似乎像魔术一样。它计算任意两个幂的总和（没有2 ^ 0），即使它不能存储在很长的长期内。

#include <iostream>  
#include <cmath>  
#include <iomanip>  
#include <sstream>  
using namespace std;

int main() {
    int n;
    stringstream ss;
    cin >> n;

    ss << fixed << setprecision(0) << pow(2, n + 1) - 2;

    if (n >= 54) {
        string a = ss.str();

        a[a.size() - 1] = ((a[a.size() - 1] - 48) - 2) + 48;

        cout << a;
        return 0;
    }

    cout << ss.str();

}

它是如何工作的？它适用于涉及大量的任何操作吗？如果n的值非常大（我试过1024）它只打印“inf”。可以通过这种方式计算的数字范围的上限是多少？

以下部分究竟是做什么的，为什么会这样做？

a[a.size() - 1] = ((a[a.size() - 1] - 48) - 2) + 48;

Answer 1

它适用于任何涉及大数的操作吗？

您可以使用浮点执行与浮点相同的操作。但每次计算都涉及错误，并非所有整数都可以表示。

可以通过这种方式计算的数字范围的上限是多少？

取决于处理器使用的双精度浮点类型。

您可以使用std::numeric_limits<double>::max()找出代表性最高的数字。但是，这些高数字的精度非常差。并非所有整数都可以表示为此数字。可连续表示的整数的最大值为std::pow(std::numeric_limits<double>::radix, std::numeric_limits<double>::digits)。

以下部分究竟是做什么的，为什么会这样做？
a[a.size() - 1] = ((a[a.size() - 1] - 48) - 2) + 48;

这可以简化为

a[a.size() - 1] -= 2;

它只是从最后一个（最低）数字中扣除2。它依赖于数学事实，即2的幂不是0或1模10（除了2 ⁰），在这种情况下，最后一位将成为非数字字符。

它还依赖于pow(2, n + 1) - 2 == pow(2, n + 1) n >= 54的事实。该代码假定浮点遵循无处不在的二进制IEEE-754格式，其中std::pow(std::numeric_limits<double>::radix, std::numeric_limits<double>::digits)为std::pow(2, 54)。当n大于或等于54时，计算结果std::pow(2, 54 + 1)变得如此之大，以至于如果从中扣除一个小数字2，则最接近的可表示结果与您开始时的结果相同。计算的准确度误差等于较小的操作数！这个计算根本不能用浮点数来执行。这就是之后用数字字符摆弄它的原因。

所有2的幂（达到极限）都是可表示的，因此功率计算本身从不会出现任何精度误差。

Answer 2

你正在研究一个相对简单的技巧的火腿实施。

这是基于二进制浮点表示（例如IEEE 754 one）可以代表2 ^N这一事实，正好代表N的相当大的值（指数部分的范围）代表）。

这意味着在正确实施的标准库中执行此操作

unsigned N = ...;

double d = std::pow(2.0, N);
std::stringstream str;
str << std::fixed << std::setprecision(0) << d;
std::string s = str.str();

对于如此大的N值，您可以获得2 ^N的精确十进制表示。

现在，如果你考虑到2 ^N（N> 0）的十进制表示永远不会以...0或奇数结尾的事实，你应该理解添加1或从结果十进制表示中减去1或2只能修改其最后一位（从不产生进位或借用）。这意味着你可以通过简单地按照上面的

来计算k = -2，-1,0，+ 1的2 ^N + k

s[s.size() - 1] += k;

如果你另外观察到2的幂不能在...98中结束，你应该意识到k = + 2，+ 3的表示可以通过

获得

if ((s[s.size() - 1] += k) > '9')
{
  s[s.size() - 1] -= 10;
  ++s[s.size() - 2];
}

因为任何可能的进位都不会传播超过1步。（为简洁起见，我省略了检查长度）。

类似地，由于2的幂不能以...02结束，因此可以通过

获得k = -3，-4的表示。

if ((s[s.size() - 1] += k) < '0')
{
  s[s.size() - 1] += 10;
  --s[s.size() - 2];
}

换句话说，在原始代码中，没有必要提前减去2（在pow(2, n + 1) - 2中）。并且没有必要将48纳入最后的数字调整表达式。

这种计算大数的方式如何工作？

2 个答案: