有理数的近似pi

Question

pi = 3.1415926535 ...的值可以用有理数的近似pi来表示：

• 22/7 = 3.142857142857 ...
• 355/113 = 3.141592920353 ...

我想构建更准确的分数，因此：
请告诉我找到整数的快速算法p, q (1 <= q <= n)这样的p/q最接近pi。

我只有一个暴力算法，需要O(n)才能找到它，所以n <= 10^12的速度很慢。

你有任何有效的算法吗？

编辑：
与this question不同，因为我已经知道pi的值，我只想构建分母小于或等于n的最准确分数。