Question

我被要求使用Bisection方法找到方程的根，并且只有{3}}循环使用Python 3. This线程显示如何使用该方法，但没有说明数字的解释在for。

举个例子，我有函数

f（x）= x ² - 2 * x - 3

我希望找到它的负根，从区间[-4,1]开始。

我设法用range()循环编写函数，但我不明白我应该使用哪个范围，或者如何提出它。

这是我的代码，解决了这个问题：

for

c = -1（找到负根），f（c）= 0确认程序有效，i = 52表示在52次“尝试”二分后，它找到了正确答案。

我在... a = -4 b = 1 c = (a + b)/2 for i in range(1000): if f(c) == 0: break if f(a) * f(c) < 0: b = c elif f(a) * f(c) > 0: a = c c = (a + b) / 2 return c, f(c), i中放了一个非常大的数字以确保找到了根，但为什么它只需要52次迭代？

另外，如果我的间隔变为[-2,1]，我需要53次尝试。 为什么会这样？

Answer 1

每次迭代，您将搜索间隔减半。在每次迭代中，您检查f（c）（中点的功能值）是否为0，在计算机浮点表示的精度范围内。

如果你选择区间[-101,99]，你只需要在1次迭代中得到解，就像你点击c = -1那样。只要程序足够接近评估结果为0.000000

的实际根，程序就会停止

你开始的宽度范围是5.什么是5除以2，52倍？实现中浮点数的准确度是多少？我敢打赌你接近两个花车之间的最小差异。

如果你真的想看到这个，请在循环中添加一个简单的行，就在顶部：

print a, b, c, f(c)

这将显示找到根目录的进度。

打印语句是一种低技术，有效的跟踪程序的方法。

评论回复

好点：我还没有足够强硬地说出具体案例。

你完成了52次迭代，因为这是程序在正确值上“绊倒”所花费的数量。当你改变并在53次迭代中进行更小范围时...简单的方法是说你第一次有点幸运。正如我指出的那样，如果你开始使用-1作为其中点的东西，例如[-101,99]，那么你将只完成一个迭代，尽管有更大的间隔。

Answer 2

如果您在循环中print([a, b])，则可以看到范围演变：

[-4, 1]
[-1.5, 1]
[-1.5, -0.25]
[-1.5, -0.875]
[-1.1875, -0.875]
[-1.03125, -0.875]
...
...
...
[-1.0000000000000284, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000107, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999973]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999996]
[-1.0000000000000007, -0.9999999999999996]

计算出的平均值-1.0000000000000007和-0.9999999999999996正好为-1。为什么？因为你已经达到浮标代表的极限。以下是所涉及的确切值：

>>> '%.60f' % -1.0000000000000007
'-1.000000000000000666133814775093924254179000854492187500000000'

>>> '%.60f' % -0.9999999999999996
'-0.999999999999999555910790149937383830547332763671875000000000'

>>> '%.60f' % (-1.0000000000000007 + -0.9999999999999996)
'-2.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'

>>> '%.60f' % ((-1.0000000000000007 + -0.9999999999999996) / 2)
'-1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'

浮点存储52 bits of fraction，意思是前导1位后的52位。意味着你失去了比你的价值约1/2 ⁵²小的东西。经过52个步骤后，您的初始5号范围大约为5/2 ⁵²。这是你的价值-1的1/2 ⁵²。因此，在那里，由于不精确，你很有可能偶然发现-1。

可能需要两个或三个步骤，因为5/2 ⁵²仍然比1/2 ⁵²大一点。你那里很幸运。使用您的其他初始范围[-2, 1]，您就不那么幸运了。在达到-1之前，你的范围会缩小到[-1.0000000000000002, -0.9999999999999999]。

如果您从[-4000000, 1]开始，那么您需要72个步骤。它的步骤多了20步，因为初始范围是一百万倍，大约是2 ²⁰。

另一种情况：如果您使用函数x**2 - 1000000和初始范围[999.3, 1000.3]，则需要41步。为什么？最终值（即根）是1000，初始范围是1。那是1/1000，所以约1/2 ¹⁰。所以要达到1/2 ⁵²，你只需要大约42个二等分。

了解使用Bisection方法查找解决方案的迭代次数

2 个答案: