尝试在循环图中找到最长路径有哪些优化？
已知循环图中的最长路径是NP完全的。优化或启发式方法可以比DFS整个图表更快地找到最长的路径？有没有概率方法？
我有一个具有特定品质的图表，但我在一般情况下正在寻找答案。链接到论文会很棒。这是一个部分答案：
确认它是循环的。非循环图中的最长路径可以使用动态编程轻松计算。
查看图表是否为平面（哪种算法最好？）。如果是，您可能会看到它是块图，托勒图还是cacti图，并应用this paper中的方法。
使用Donald B Johnson's algorithm（Java implementation）了解有多少简单周期。您可以通过删除简单循环中的边来将任何循环图更改为非循环图。然后，您可以运行the Wikipedia page上的动态编程解决方案。为了完整性，您必须为每个循环执行N次，其中N是循环的长度。因此，对于整个图表，您必须运行DP解决方案的次数等于所有周期长度的乘积。
如果必须对整个图表进行DFS，则可以通过提前计算每个节点的“可达性”来修剪某些路径。这种可达性主要适用于有向图，是每个节点无需重复即可达到的节点数。它是该节点可能的最长路径的最大值。有了这些信息，如果您当前的路径加上子节点的可达性小于您已经找到的最长路径，那么获取该分支是没有意义的，因为您不可能找到更长的路径。
答案 0 :(得分：6)
这是一个O（n * 2 ^ n）动态编程方法，最多可以说20个顶点：
m(b, U) =以b结尾且只访问U中的（有些）顶点的任何路径的最大长度。
最初，设置m(b, {b}) = 0。
然后，m(b, U) = m(x, U - x) + d(x, b)中x的{{1}}的最大值，U不是x而是b {1}}存在。对所有端点(x, b)取最大值，使用b = U（完整的顶点集）。这将是任何路径的最大长度。
以下C代码假定V中的距离矩阵。如果图表未加权，则可以将对此数组的每个读取访问权限更改为常量d[N][N]。也可以在数组1中计算显示最佳顶点序列（可能有多个）的回溯。
p[N][NBITS]在我的电脑上，这解决了一个20x20的完整图形，其边缘权重在[0,1000]范围内随机选择，大约7s，需要大约160Mb（其中一半用于前一个跟踪）。
（请注意，没有关于使用固定大小数组的评论。在实际程序中使用#define N 20
#define NBITS (1 << N)
int d[N][N]; /* Assumed to be populated earlier. -1 means "no edge". */
int m[N][NBITS]; /* DP matrix. -2 means "unknown". */
int p[N][NBITS]; /* DP predecessor traceback matrix. */
/* Maximum distance for a path ending at vertex b, visiting only
vertices in visited. */
int subsolve(int b, unsigned visited) {
if (visited == (1 << b)) {
/* A single vertex */
p[b][visited] = -1;
return 0;
}
if (m[b][visited] == -2) {
/* Haven't solved this subproblem yet */
int best = -1, bestPred = -1;
unsigned i;
for (i = 0; i < N; ++i) {
if (i != b && ((visited >> i) & 1) && d[i][b] != -1) {
int x = subsolve(i, visited & ~(1 << b));
if (x != -1) {
x += d[i][b];
if (x > best) {
best = x;
bestPred = i;
}
}
}
}
m[b][visited] = best;
p[b][visited] = bestPred;
}
return m[b][visited];
}
/* Maximum path length for d[][].
n must be <= N.
*last will contain the last vertex in the path; use p[][] to trace back. */
int solve(int n, int *last) {
int b, i;
int best = -1;
/* Need to blank the DP and predecessor matrices */
for (b = 0; b < N; ++b) {
for (i = 0; i < NBITS; ++i) {
m[b][i] = -2;
p[b][i] = -2;
}
}
for (b = 0; b < n; ++b) {
int x = subsolve(b, (1 << n) - 1);
if (x > best) {
best = x;
*last = b;
}
}
return best;
}
（或者更好，C ++ malloc()）。我只是这样写，所以事情会更清楚。 ）