四边形的面积

Question

我在平面和目标区域 P 中有 n 个点。我试图找到四个点，其中一个区域是四边形的角，其区域最接近 P 。以下是 n = 5且 P = 30的示例：

• 0,0
• 10,0
• 0,10
• 10,10
• 7,3

答案应该是30.0（最接近 P ，在这种情况下它是相等的。）

你有什么想法我怎么能这样做？我知道我可以使用Heron的公式计算每个四边形的面积，但我是否必须尝试每种组合或者是否有更短的方法？

Answer 1

你可以

1. 获取具有所需顶点数和形状的单位/模板多边形。

2. 为其添加乘法比例因子t，使其坐标看起来像

   0, 0
   10t, 0
   0, 10t
   10t, 10t
   7t, 3t
   

3. 使用shoelace formula找出该区域，例如f(t)。

4. 求解缩放因子f(t) = 30.0的多项式方程t以及多边形的相关坐标。

这应该为您提供所需区域的多边形（30.0）。

顺便说一句，我假设您知道多边形的形状，否则，（无限）有许多解决方案可以适合您的目标区域。

Answer 2

总的来说，我无法想到一种能够改善所有可能的四边形上最坏情况迭代的算法。如果该区域与点扩散的区域相比较小，则可以使用quadtree排列来清除距离太远而无法形成合理四边形的点。但即使在那里你也要小心，因为有一个非常薄的四边形与远点可能只有正确的区域，所以你可能不得不让自己屈服于四次算法。

但你可以使用加速：当你有三个点时，找到相关三角形的面积，如果它大于abs（目标区域 - 目前为止的最佳区域），那么你就不要需要尝试第四点的任何值。

正如我在评论中提到的，对于四边形区域，您需要Bretschneider's formula，Heron是针对三角形的。