我想计算：
你知道任何有效的方法，因为这个数字太大但a，b，c，...和m适合一个简单的32位int。
任何想法？
警告：这个问题与找到 b mod m不同。
另请注意， b c 与（a b ） c 不同。后者等于 bc 。指数是右关联的。
答案 0 :(得分：20)
a b c mod m = a b c mod n mod m，其中n =φ（ m）Euler's totient function。
如果m是素数，那么n = m-1。
编辑：正如Nabb指出的那样，只有当a与m相互作用时才会成立。所以你必须先检查一下。
答案 1 :(得分：1)
因为对于任何关系a=x^y，关系对于您使用的数字基础（基数2，基数6，基数16等）是不变的。
由于mod N操作相当于提取基数N中的最低有效位（LSD）
由于基数N中结果A的LSD只能受基数N中X的LSD影响，而不能影响较高位置的数字。 （例如34 * 56 = 30 * 50 + 30 * 6 + 50 * 4 + 4 * 5 = 10 *（3 + 50 + 3 * 6 + 5 * 4）+ 4 * 6）
因此，从LSD(A)=LSD(X^Y)我们可以推断出
LSD(A)=LSD(LSD(X)^Y)
因此
A mod N = ((X mod N) ^ Y) mod N
和
(X ^ Y) mod N = ((X mod N) ^ Y) mod N)
因此，您可以在每个功率步骤之前执行mod，这会将结果保持在整数范围内。
这假定a不是负的，并且对于任何x ^ y，a ^ y＆lt; MAXINT
这个答案回答了错误的问题。 （亚历）
答案 2 :(得分：1)
Modular Exponentiation是解决这个问题的正确方法，这里有一点提示：
找到 b c d ％m
你必须从计算开始
a％m，然后是 b ％m，然后是 b c ％m，然后是 b c d ％m ...（你明白了）
要找到 b ％m，您基本上需要两个想法：[设B =楼层（b / 2）]
因此，
如果b是偶数
a b ％m =（a B ％m） 2 ％m
或者如果b是奇数
a b ％m =（（（ B ％m） 2 ）*（a％m））％m
< / p>
因此，如果您知道 B 的值，则可以计算该值。
要找到 B ，请应用类似方法，将B除以1，直到达到1。
e.g。计算16 13 ％11：
16 13 ％11 =（16％11） 13 ％11 = 5 13 ％11
=（5 6 ％11）*（5 6 ％11）*（5％11）＆lt; ----（I）
找到5 6 ％11：
5 6 ％11 =（（5 3 ％11）*（5 3 ％11））％11＆lt; -----（ II）
找到5 3 ％11：
5 3 ％11 =（（5 1 ％11）*（5 1 ％11）*（5％11））％11 <登记/>
=（（（5 * 5）％11）* 5）％11 =（（25％11）* 5）％11 =（3 * 5）％11 = 15％11 = 4
将该值插入（II）给出
5 6 ％11 =（（（4 * 4）％11）* 5）％11 =（（16％11）* 5）％11 =（5 * 5）％11 = 25％ 11 = 3
将该值插入（I）给出
5 13 ％11 =（（3％11）*（3％11）* 5）％11 =（（9％11）* 5）％11 = 45％11 = 4 >
这样5 13 ％11 = 4
有了这个你可以计算出任何形式 5 13 ％11等等...
答案 3 :(得分：0)
查看A^X mod M增加X时的行为。它最终必须进入一个循环。假设周期的长度为P，并在N步之后开始。然后X >= N隐含A^X = A^(X+P) = A^(X%P + (-N)%P + N) (mod M)。因此，我们可以通过计算A^B^C计算y=B^C, z = y < N ? y : y%P + (-N)%P + N, return A^z (mod m)。
请注意，我们可以递归地将此策略应用于幂树，因为派生的等式具有指数＆lt; M或涉及较小指数塔的指数，且股息较小。
唯一的问题是，如果您能够有效地计算N和P给定A和M。请注意，高估N很好。我们可以将N设置为M，事情就会成功。 P有点困难。如果A和M是不同的素数，那么P=M-1。如果A包含所有M的素数因子，那么我们会陷入0和P=1。我会把它作为练习来解决这个问题，因为我不知道如何。
///Returns equivalent to list.reverse().aggregate(1, acc,item => item^acc) % M
func PowerTowerMod(Link<int> list, int M, int upperB = M)
requires M > 0, upperB >= M
var X = list.Item
if list.Next == null: return X
var P = GetPeriodSomehow(base: X, mod: M)
var e = PowerTowerMod(list.Next, P, M)
if e^X < upperB then return e^X //todo: rewrite e^X < upperB so it doesn't blowup for large x
return ModPow(X, M + (e-M) % P, M)
答案 4 :(得分：0)
Tacet的回答很好，但可以进行大量的简化。
x，mod m的幂是预周期的。如果x是m的相对素数，x的幂是周期性的，但即使没有这个假设，周期之前的部分也不长，最多是m的素数因式分解中的指数的最大值，最多为log_2 m 。周期的长度除以phi（m），实际上是lambda（m），其中lambda是Carmichael's function，最大乘法次序mod m。这可以显着小于phi（m）。 Lambda（m）可以从m的素因数分解快速计算，就像phi（m）一样。 Lambda（m）是在m的素因数分解中的所有素数p_i ^ e_i上的λ（p_i ^ e_i）的GCD，并且对于奇次幂，λ（p_i ^ e_i）= phi（p_i ^ e ^ i）。 lambda（2）= 1，lamnda（4）= 2，lambda（2 ^ n）= 2 ^（n-2），更大的幂为2。
将modPos（a，n）定义为{0,1，..，n-1}中a的同余类的代表。对于非负a，这只是％n。对于负数，由于某种原因，％n被定义为负数，因此modPos（a，n）是（a％n）+ n。
将modMin（a，n，min）定义为与mod n至少为min的最小正整数。对于正数，您可以将其计算为min + modPos（a-min，n）。
如果b ^ c ^ ...小于log_2 m（并且我们可以通过递归取对数来检查这个不等式是否成立），那么我们可以简单地计算一个^ b ^ c ^ ...否则，a ^ b ^ c ^ ... mod m = a ^ modMin（b ^ c ^ ...，lambda（m），[log_2 m]））mod m = a ^ modMin（b ^ c ^ ... mod lambda（m ），lambda（m），[log_2 m]）。
例如，假设我们要计算2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 mod 100.注意3 ^ 4 ^ 5只有489个数字，所以这可以通过其他方法来实现，但是它足够大了你不想直接计算它。但是，通过我在这里给出的方法，您可以手动计算2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 mod 100.
从3 ^ 4 ^ 5＆gt; log_2 100，
2^3^4^5 mod 100
= 2^modMin(3^4^5,lambda(100),6) mod 100
= 2^modMin(3^4^5 mod lambda(100), lambda(100),6) mod 100
= 2^modMin(3^4^5 mod 20, 20,6) mod 100.
让我们计算3 ^ 4 ^ 5 mod 20.由于4 ^ 5＆gt; log_2 20，
3^4^5 mod 20
= 3^modMin(4^5,lambda(20),4) mod 20
= 3^modMin(4^5 mod lambda(20),lambda(20),4) mod 20
= 3^modMin(4^5 mod 4, 4, 4) mod 20
= 3^modMin(0,4,4) mod 20
= 3^4 mod 20
= 81 mod 20
= 1
我们可以将其插入以前的计算中：
2^3^4^5 mod 100
= 2^modMin(3^4^5 mod 20, 20,6) mod 100
= 2^modMin(1,20,6) mod 100
= 2^21 mod 100
= 2097152 mod 100
= 52.
注意2 ^（3 ^ 4 ^ 5 mod 20）mod 100 = 2 ^ 1 mod 100 = 2，这是不正确的。你不能减少到基数权力的预期部分。