用于计算大量三角形的3D射线/三角形边缘交点的快速算法

Question

我在3D空间中有一个三角形ABC，并且在起点E（总是在三角形边缘内部或在三角形边缘上）和方向矢量d给出三角形平面内的光线。

顶点A，B和C以及E和d以3D坐标{x，y，z}给出。

我正在寻找一种算法来计算光线与三角形边缘P的交点。

我可以对三角形的3个边缘进行3次射线/线段交叉测试，但由于我必须为大量三角形做这个，我正在寻找更高效，更快的算法。

1. 这样做的最佳方式是什么？
2. 重心坐标有帮助吗？

Answer 1

1. 时间复杂度为O（1）
2. 它可能会有所帮助。 如果我们谈论3D并且你的所有点都在一个平面上。在笛卡尔坐标系中，您需要求解三个线性系统以找到三条线的交点，然后确定交叉点是否位于边缘。 或者你需要在线找到两点的重心坐标。点A（a1，a2，a3）= E和B（b1，b2，b3）= E + d。线的方程是 现在你仍然需要解决三个线性系统（其中一个mu = 0，其他一个= 1）。但它将是2x2系统，更容易解决。然后检查找到根的信号，以确定发现的点是否位于边缘。

Answer 2

  

重心坐标可以帮助吗？

可能。这取决于你的非重心代码有多高度优化，但我说使用重心坐标至少更容易编写既可维护又高效的代码。

据我所知，您的整个设置基本上是2d，E点和方向d都包含在A,B,C所跨越的平面内。你有

E = aE*A + bE*B + cE*C  with aE+bE+cE=1
d = ad*A + bd*B + cd*C  with ad+bd+cd=0

现在你有两个子问题：

1. 如何有效地获得重心坐标
2. 如何找到交叉点

让我们从后者开始吧。您只需将E的倍数添加到d，直到c坐标变为零。

P = E - (cE/cd)*d

根据您的设置，您可能也可以使用齐次坐标，在这种情况下，您可以将其写为P = cd*E - cE*d。

如何将x,y,z和d的{​​{1}}坐标转换为重心E？那么，这只是一个线性方程组。您可以使用由向量a,b,c形成的矩阵的逆矩阵。同样，如果您正在处理齐次坐标，则可以使用adjunct而不是inverse。

这是拼写出来的同质方法：

A,B,C

前三行将aE = (By*Cz-Bz*Cy)*Ex + (Bz*Cx-Bx*Cz)*Ey + (Bx*Cy-By*Cx)*Ez bE = (Cy*Az-Cz*Ay)*Ex + (Cz*Ax-Cx*Az)*Ey + (Cx*Ay-Cy*Ax)*Ez cE = (Ay*Bz-Az*By)*Ex + (Az*Bx-Ax*Bz)*Ey + (Ax*By-Ay*Bx)*Ez ad = (By*Cz-Bz*Cy)*dx + (Bz*Cx-Bx*Cz)*dy + (Bx*Cy-By*Cx)*dz bd = (Cy*Az-Cz*Ay)*dx + (Cz*Ax-Cx*Az)*dy + (Cx*Ay-Cy*Ax)*dz cd = (Ay*Bz-Az*By)*dx + (Az*Bx-Ax*Bz)*dy + (Ax*By-Ay*Bx)*dz aP = cd*aE - cE*ad bP = cd*bE - cE*bd Px = aP/(aP+bP)*Ax + bP/(aP+bP)*Bx Py = aP/(aP+bP)*Ay + bP/(aP+bP)*By Pz = aP/(aP+bP)*Az + bP/(aP+bP)*Bz 转换为重心坐标，接下来的三行E。然后我们计算d的重心坐标，并将它们转回笛卡尔坐标。在那一步中，我们也将它们去均匀化，即除以重心坐标的总和。

总的来说，这里有相当多的代码。您可以通过将常用表达式移动到专用变量来减少操作数，特别是如果您的编译器没有为您执行此操作。一个好处是，除了最终的非均匀化，即除P之外，你不需要任何划分。如果你计算(a+b)一次，你可以用一个分区来做，这对性能有好处。

上述代码的真正好处可能是您可以使用重心坐标做很多好事，而这些坐标对于其他坐标系统并不容易。例如，如果要检查光线是否到达线段上的线1/(a+b)或三角形外的某处，请检查是否AB。

Answer 3

暂时忽略d具有最小组件的轴，并处理生成的2D问题，就像我们在插图中看到的那样。

您可以预先计算光线支撑线的方程式，形式为ax + by + c = 0（假设z被忽略）。在此表达式中插入三个顶点的坐标，符号将告诉您顶点的哪一侧。

与线的两个交点出现在端点处具有不同符号的边缘上。

然后，为了确定哪个是右边缘，光线和第三个边缘之间的角度符号会做（如果我是对的）;

当您知道哪条边时，您可以计算边的参数方程的参数，您可以从先前计算的符号中推导出该参数。例如，沿着边缘AB，t = Sb /（Sb-Sa）。同时计算1 - t;

最后，使用t值在端点之间进行插值，这次是3D。

计算成本

• 评估Sa，Sb，Sc三个符号，取6 +和6 x;

• 选择两个边缘候选者，进行两次或三次比较;

• 选择单个候选者，采用2D交叉积，3 +和2 x并进行比较;

• 计算插值参数，2 +，1 /;

• 最终3D插值，3 +，6 x。

很难做得更短。

Answer 4

见论文

  

Fast, minimum storage ray-triangle intersection，   作者：TomasMöller和Ben Trombone，   在   图形工具杂志，2（1）：21-28,1997。

另见this page。

作者说：

  

这种方法的一个优点是平面方程不需要在运行中计算也不需要存储，这可以节省三角网格的显着内存节省。由于我们发现我们的方法在速度上与以前的方法相当，我们认为它是没有预先计算平面方程的三角形中最快的光线 - 三角形交叉例程。